4.1.2.3 贝叶斯公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

*第3课时　 贝叶斯公式 第四章　4.1.2　乘法公式与全概率公式 1.了解贝叶斯公式. 2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率. (不作考试要求) 学习目标 导语 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763年首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用. 下面我们就共同来学习贝叶斯公式，了解它的本质和应用吧. 内容索引 一、贝叶斯公式的概念 二、贝叶斯公式的应用 课时对点练 三、定理2的应用 随堂演练 贝叶斯公式的概念 一 问题　已知某厂生产的奶制品优质品率为95%，而且优质品中包装达标的占90%；非优质品中，包装达标的占70%.如果从该厂生产的奶制品中，随机取了一袋，发现包装是达标的，若用A表示是优质品，B表示包装达标.则这袋奶制品是优质品的概率为多少(精确到0.1%)? 由乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝95%×90%＝85.5%. 由全概率公式可得 ＝95%×90%＋(1－95%)×70%＝89%. 因此一袋包装达标的奶制品是优质品的概率为 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 ＝________________________，这称为贝叶斯公式. 知识梳理 8 9 反思感悟 10 A.0.52 　　　B.0.54 　　　C.0.56 　　　 D.0.58 √ 11 贝叶斯公式的应用 二 例2　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 13 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)， 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 反思感悟 14 跟踪训练2　对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？ 15 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”. 由贝叶斯公式，得 ≈0.97. 即当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率为0.97. 定理2的应用 三 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均 ，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝ ； (3)1>P(Ai)>0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 互斥 Ω 上述公式也称为贝叶斯公式. 知识梳理 18 注意点： P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 知识梳理 19 例3　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ 20 由题意知，不迟到就意味着不拥堵， 设事件C表示“到公司不迟到”，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3) ＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7 ＝0.36. (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. 22 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效. 反思感悟 23 跟踪训练3　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； 24 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 由贝叶斯公式得 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小. 26 1.知识清单： (1)贝叶斯公式. (2)贝叶斯公式的应用. (3)定理2的应用. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.若男子和女子的人数相等，随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是 A.95% 　　　 B.5% 　　　 C.25% 　　　 D.26.25% √ 1 2 3 4 设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人患色盲症. P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5， 由贝叶斯公式有 1 2 3 4 2.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为 √ 1 2 3 4 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得 1 2 3 4 3.炮战中，在距目标250 m,200 m,150 m处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2，而在该处射击命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2.现在已知目标被击毁，则击毁目标的炮弹是由距目标250 m处射出的概率为 √ 1 2 3 4 设B表示“目标被击毁”，A1，A2，A3分别表示距目标250 m,200 m,　150 m处射击， 1 2 3 4 4.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，通过化验，在患有此种疾病的人群中有95%的人化验结果为阳性，而健康的人中也会有1%的人化验结果为阳性，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则： (1)某人化验结果为阳性的概率为________； A＝“化验结果为阳性”，B＝“患有此种病”. P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%. 1.47% 1 2 3 4 (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%,35%,40%，而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为 A.0.012 5 　　　　 B.0.362　　　　 C.0.468 　　　　 D.0.034 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域，定义事件T＝“检测出一个人在说谎”，L＝“一个人真正说谎”.根据经验，P(T|L)＝0.88，　　　＝0.86.假设P(L)＝0.01.在一次试验中，检测出被测对象在说谎.按照上面所给资料，则这个人真正说谎的概率为 A.0.84 B.0.147 4 C.0.06 D.0.088 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝0.01×0.88＋0.99×0.14 ＝0.147 4. 由贝叶斯公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知一批产品的次品率为4%，现有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为0.05，若一产品通过检验被认为是正品，则它确实是正品的概率为 A.0.995 B.0.996 C.0.997 D.0.998 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由全概率公式得 ＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8， 由贝叶斯公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记Ai＝{该学生第i次考试及格}，i＝1,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A为“不知道正确答案”，事件B为“答对此题”， 所以所求概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A，　分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品.若在市场上买一个灯泡为合格品，则买到的合格灯泡是甲厂生产的概率为________. 0.735 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A＝收到“·”，B＝发出“·”， 由贝叶斯公式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球， (1)求从乙盒取出2个红球的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A1＝“从甲盒取出2个红球”； A2＝“从甲盒取出2个白球”； A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球”； B＝“从乙盒取出2个红球”. 则A1，A2，A3两两互斥， 且A1＋A2＋A3＝Ω，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B＝“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai＝“抽到的一箱中有i只残次品”，i＝0,1,2. 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1只残次品或有2只残次品. 显然A0，A1，A2两两互斥. 由题意知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， 由全概率公式得 P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)≈0.94. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由贝叶斯公式，得 (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.0.003 8 B.0.000 38 C.0.000 4 D.0.515 8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%.则下列选项正确的是 A.任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5 C.取得的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D.取得的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工的”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， 即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A错误； P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.通过掷一枚骰子决定选盒，出现1,2或3点选甲盒，4,5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后， 宣布摸得一个白球，此球来自乙盒的概率为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 由贝叶斯公式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从 袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为______. 设B＝{取出的球全是白球}， Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得 拓广探究 15.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率为________； 0.7 设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为________. 0.8 16.假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 疾病 人数 出现症状S的人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 试问当一个具有症状S的病人前来诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段的情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合理？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A表示事件“患者出现症状S”， Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的人数很多，用事件的频率作为概率的近似值是合适的，由统计数字可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)≈0.967 7×0.387 5＋0.8×0.262 5＋0.5×0.35≈0.76. 由贝叶斯公式得 从而推测病人患有疾病d1较为合理. 提示　表示不是优质品，而且有 P(A)＝95%，P(B|A)＝90%，P(B|)＝70%； P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) P(A|B)＝＝≈96.1%. P(A|B)＝ 注意点： 公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 例1　根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以  A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，试求P(C|A). 已知P(A|C)＝0.95，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，P(C)＝0.005，P()＝0.995，由贝叶斯公式，得P(C|A)＝≈0.087. 本题的结果表明，虽然P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查，则有P(C|A)≈0.087，亦即其正确性只有8.7%(平均1 000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果. 跟踪训练1　若P(B)＝0.4，P(A|B)＝0.35，P(A|)＝0.2，则P(B|A)等于 P(B|A)＝＝≈0.54. P(A1|B)＝＝＝0.8. 即P(A)＝(Bi)P(A|Bi)； 第三步：代入P(B|A)＝求解. 则有P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05， P(B|A)＝ ＝ P(Aj|B)＝＝_______________. P(L1|C)＝＝≈0.28. 由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. P(B1|A)＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝. 3.常见误区：不清楚公式P(A1|B)＝＝的转化关系，导致套用错误. ＝≈95%. 则P(A)＝P(B)＝， P(A|C)＝ A. B. C. D. P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝， P(B1|A)＝＝＝÷＝. A. B. C. D. ＝. 则所求概率为P(A1|B)＝＝ ＝ P(B|A)＝＝＝. 所求概率为≈0.362. P＝＝. A. B. C. D. P(|) P(T)＝P(L)P(T|L)＋P()P(T|) P(L|T)＝＝≈0.06. 设A表示“产品确实是正品”，B表示“一产品通过检验被认为是正品”，则表示“产品是次品”，表示“产品通过检验被认为是次品”. P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) P(A|B)＝＝≈0.998. 5.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.若已知他第二次及格，则他第一次及格的概率为 A. B. C. D. 且已知P(A1)＝p，P(A2|A1)＝p，P(1)＝1－p， P(A2|1)＝. 于是，由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝p(1＋p). 由贝叶斯公式得P(A1|A2)＝＝. 6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 A. B. C. D. 则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝1. P(A|B)＝＝ ＝＝.   B＝AB＋B且AB与B互斥. P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B) ＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) P(A|B)＝＝ ＝≈0.735. 8.电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出 信号恰是“·”的概率为________. P(B|A)＝ ＝＝. P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝. P(A1|B)＝ ＝＝＝. P(B|A0)＝＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝， P(A0|B)＝≈≈0.85. 11.假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，以C表示“被检验者患有肝癌”这一事件，以A表示“判断被检验者患有肝癌”这一事件.假设这一检验法相应的概率为P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.90.又设在人群中P(C)＝0.000 4.现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，则此人真正患有肝癌的概率P(C|A)等于 因为P(A|C)＝0.95，所以P(A|)＝1－P(|)＝0.1， P(C)＝0.000 4，则P()＝0.999 6， 由贝叶斯公式得所求概率为P(C|A)＝ ＝≈0.003 8. P(A2|B)＝＝＝，C正确； P(A3|B)＝＝＝，D错误. 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. P(A2|B)＝＝＝. P(A3|B)＝＝＝. 则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9， P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6. P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0.9＋×0.4＝0.7. P(|)＝ ＝＝0.8. P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5， P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7， P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5. P(D1|A)＝≈≈0.493 4， P(D2|A)＝≈≈0.276 3， P(D3|A)＝≈≈0.230 3， $$