4.1.2.1 乘法公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第1课时　 乘法公式 第四章　4.1.2　乘法公式与全概率公式 1.掌握条件概率的乘法公式及其推广. 2.会用乘法公式求相应事件的概率. 学习目标 导语 某校举办的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有30名同学参加，该校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序.甲同学对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每人抽到1号的概率不一样. 内容索引 一、乘法公式的概念 二、利用乘法公式求概率 课时对点练 三、乘法公式的综合应用 随堂演练 乘法公式的概念 一 问题　对两个事件A，B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 公式P(BA)＝ ，其中P(A)>0，称为概率的乘法公式. 注意点： 根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率. P(A)P(B|A) 知识梳理 7 例1　(1)已知P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，求P(AB)； P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.3×0.6＝0.18. (2)已知P(B)＝0.2，P(A|B)＝0.15，P(B|A)＝0.3，求P(A). ∵P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝0.2×0.15＝0.03， 而P(AB)＝P(A)·P(B|A)， 8 概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)是条件概率公式的变形式，它反映了知二求一的方程思想. (2)分清P(A)，P(A|B)，求解时直接利用公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)即可. 反思感悟 9 又P(AB)＝P(B)·P(A|B)， 10 利用乘法公式求概率 二 例2　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率. 12 延伸探究 1.在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率. 13 2.在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率. 乘法公式是计算“积事件”概率的一种方法.即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解. 反思感悟 15 跟踪训练2　为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为________. 0.4 设“该同学通过第一关”为事件A，“通过第二关”为事件B， 在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A)， 所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4. 16 乘法公式的综合应用 三 乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)>0，P(A1A2)>0， 则P(A1A2A3)＝ . 其中 表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率， 表示A1，A2，A3同时发生的概率. 注意点： 若Ai(i＝1,2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1). P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A3|A1A2) P(A1A2A3) 知识梳理 18 19 该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)… P(An|A1A2…An－1)求解. 反思感悟 20 跟踪训练3　10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽， 乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为_______. 设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签， 则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB) 21 1.知识清单： (1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). (2)乘法公式的推广：若P(A1)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2). 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：对事件关系不明导致错用乘法公式. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P(A)＝0.35，P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则两个区同时发生停水事件的概率为 A.0.6 　　　B.0.65 　　　C.0.45 　　　D.0.045 √ P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝0.3×0.15＝0.045. 1 2 3 4 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽到A的概率是 √ 1 2 3 4 方法二　设Ai表示第i次抽到A，i＝1,2，则 1 2 3 4 3.某工厂有一批零件共100个，其中有10个次品，从这批零件中随机抽两 次，每次抽取一件，取后不放回，则两次均取到正品的概率为______. 1 2 3 4 4.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________. 设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.72. 0.72 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.第一个袋中有黑、白球各2只， 第二个袋中有黑、白球各 3 只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球.则第一、二次均取到白球的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为 A.0.4 　　　B.0.5　　　 C.0.6　　　 D.0.8 √ 记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 A.0.665 　　　B.0.564 　　　C.0.245 　　　 D.0.285 √ 记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某人忘记了电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 记事件A为“第一次失败”，事件B为“第二次成功”， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某人手中有5把钥匙，且只有1把能打开房间，此人第3次试开才打开房 间的概率为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为________. 0.495% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求： (1)第一次取得白球的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的概率为0.3，若甲机亦未被击落，再次进行进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这三个回合中甲、乙被击落的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)下列说法中错误的是 A.P(B|A)＝P(A|B) B.P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A) C.P(AB)＝P(B|A)·P(A) D.P(B|A)·P(A)≥P(A)＋P(B) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B中，B，C应为互斥事件，故不正确； C中，正确； D中，P(B|A)·P(A)＝P(AB)≤P(A)＋P(B)，故不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.一个盒子里有7只好晶体管，5只坏晶体管，依次不放回地取两次，则第二次才取出好晶体管的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，则该产品是一等品的概率为________. 所以P(A)＝P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝96%×45%＝43.2%. 43.2% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由乘法公式得P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.4＝0.28. ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.7＋0.4－0.28＝0.82. 0.82 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.6个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票，他们依次摸彩. (1)已知前两个人都没摸到，则第三个人摸到的概率为_____； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Ai表示电影票被第i个人摸到，则 (2)电影票被第3个人摸到的概率为______. 16.设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：(1)有放回抽样； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A＝{第一次未摸得白球}，B＝{第二次未摸得白球}，C＝{第三次摸得白球}. 则事件“第三次才摸得白球”可表示为ABC. (2)不放回抽样两种方式摸球三次，每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 无放回抽样， ∴P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A) 提示　由条件概率的定义，对于任意两个事件A，B，若P(A)>0，则P(B|A)＝，所以P(AB)＝ P(A)P(B|A). ∴P(A)＝＝＝＝0.1. 跟踪训练1　设P(A|B)＝，P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)＝______. P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝， ∴P(B)＝＝. 设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝. 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示两次取到的均是白球.由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝. ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝. 例3　设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有 P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝＝. ＝××＝. A. B. C. D. ∴P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝×＝. 方法一　所求概率P＝＝. P(1)＝＝，P(A2|1)＝， 设两次均取正品的事件为A1A2，则P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝. 记事件Ai为“第i次取得白球”，i＝1,2，则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，由乘法公式求得P(A1A2)＝P(A2|A1)P(A1)＝×＝. A. B. C. D. A. B. C. D. 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝. 则P(A)＝，P(B|A)＝， 5.(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则 A.P(AB)＝ B.P(AB)＝ C.P(B)＝ D.P(B)＝ P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 由P(A|B)＝， 得P(B)＝＝×2＝. 则P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝， 6.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 A. B. C. D. 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 由题意，所求事件的概率P＝××＝. 设“血检呈阳性”为事件A，“患该种疾病”为事件B，则“患该种疾病且血检呈阳性”为事件AB，由题意得P(B)＝0.005，P(A|B)＝0.99，由条件概率公式P(A|B)＝，得P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝0.005×0.99＝0.004 95＝0.495%. 设事件A表示“第一次取得白球”，事件B表示“第二次取得白球”，则事件表示“第一次取得黑球”，由题意得， P(A)＝＝. P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 而P(|)＝1－P(B|)＝1－0.3， 所以P(A＋ C)＝0.2＋(1－0.2)×(1－0.3)×0.4＝0.424. 设“第一个回合中乙机被击落”为事件A，“第二个回合中甲机被击落”为事件B，“第三个回合中乙机被击落”为事件C，则P(A)＝0.2，P(B|)＝0.3，P(C|)＝0.4， 甲机被击落的事件为B，P(B)＝P()P(B|)＝(1－0.2)×0.3＝0.24. 乙机被击落的事件为A＋C， 则P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝P(A)＋P()P(|)P(C|)， A中，P(A|B)＝，P(B|A)＝，而P(A)与P(B)不一定相等，故不正确； 令Ai表示第i次取到好晶体管，i＝1,2，则P(1)＝，P(A2|1)＝，∴P(1A2)＝×＝. A. B. C. D. 设A表示“取到的产品是一等品”，B表示“取出的产品是合格品”，则P(A|B)＝45%，P()＝4%，则P(B)＝1－P()＝96%. ∵P()＝0.6，P(|A)＝0.6，∴P(B)＝1－P()＝0.4，P(B|A)＝1－P(|A)＝0.4. 14.已知随机事件A，B，且P(A)＝0.7，P()＝0.6，条件概率P(|A)＝0.6，则P(A∪B)＝________. 由题意可知，所求概率P＝. P(12A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝. 有放回抽样，P(A)＝，P(B|A)＝，P(C|AB)＝， ∴P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)＝××＝. P(A)＝，P(B|A)＝，P(C|AB)＝， ＝××＝. $$