3.1.1.1 基本计数原理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第1课时　 基本计数原理 第三章　3.1.1　基本计数原理 1.理解两个计数原理的概念和区别. 2.掌握两个计数原理的简单应用，并能根据实际问题的特征，合理地分类或分步. 学习目标 导语 同学们，在我们的日常生活中处处离不开选择，今天，我们想关注的是对于出现相同结果的原因会有多少种，比如说，从我们教室到教学楼外，我们有几个楼梯可以选择，或者我们先从哪个楼梯到达下一层，然后又可以做出选择；比如说，我们去餐厅就餐，我们有多少个窗口可以选择，或者说，我们先在哪几个窗口买馒头，再到哪几个窗口买菜等等，这些问题都涉及到今天我们要研究的基本计数原理. 内容索引 一、分类加法计数原理 二、分步乘法计数原理 课时对点练 三、两个计数原理的简单应用 随堂演练 分类加法计数原理 一 问题1　某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可以选择：一是乘飞机，二是乘G字头列车，假如这天飞机有3个航班可乘，G字头列车有4个班次可乘.那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选. 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. 注意点： (1)每种方法都能独立地完成这件事，不依赖于其他条件. (2)每类办法中任两种方法都不同. (3)不同类办法之间没有相同方法存在. m1＋m2＋…＋mn 知识梳理 7 例1　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程 ＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有 A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 √ 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 8 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为_____. 36 9 方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 10 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 11 A.6个 　　　 B.8个　　　 C.12个 　　　 D.16个 √ 因为双曲线的焦点在x轴上，所以m>0，n>0，当m＝1时，n＝1,2,3,4；当m＝2时，n＝1,2,3,4；当m＝3时，n＝1,2,3,4； 当m＝4时，n＝1,2,3,4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个). 12 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，分类要做到“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理时的解题流程. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，若从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法共有_____种. 8 任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案： 第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法； 第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法. 由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种). 14 (2)若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有_____个. 15 15 将满足条件x，y∈N＋，且x＋y≤6的x的值进行分类： 当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个； 当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个； 当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个； 当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个； 当x＝5时，y可取的值为1，共1个. 即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个， 由分类加法计数原理得，有序自然数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个). 16 分步乘法计数原理 二 问题2　如果该全国人大代表明天要先从济南前往天津，然后前往北京参加会议，他计划乘坐飞机前往天津，此时有3个航班供他选择，然后乘坐G字头列车前往北京，此时有4个G字头列车班次供他选择，那么该代表从济南到北京共有多少种不同的走法？ 提示　该代表共有3×4＝12(种)不同的走法. 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. 注意点： (1)步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的. (2)每步的方法具有独立性，不受其他步骤影响. (3)每步所取的方法不同，每一步都有若干种方法. m1×m2×…×mn 知识梳理 19 例2　(1) 4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，不同的报名方法数有 A.43 　　　B.34 　　　 C.7 　　　 D.12 √ 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法. 20 (2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有_____个. 第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法； 第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法； 第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法. 故共有8×8×7＝448(个)无重复数字的四位“吉祥数”. 448 21 延伸探究　4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？ 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝64(种)可能的结果. 22 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理时的解题流程. 反思感悟 23 跟踪训练2　(1)一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成________个四位数的号码.(各位上的数字允许重复) 10 000 24 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码. 25 (2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共_____个，其中不同的偶函数共_____个.　(用数字作答) 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个). 若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个). 18 6 26 两个计数原理的简单应用 三 例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法； 从油画中选，有2种不同的选法； 从水彩画中选，有7种不同的选法. 根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法. 28 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法. 29 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法. 30 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 反思感悟 31 跟踪训练3　集合A＝{1,2,－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标. (1)可以得到多少个不同的点？ 可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点. 32 (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，故共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点位于第一象限. 33 1.知识清单： (1)分类加法计数原理. (2)分步乘法计数原理. (3)两个原理的简单应用. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区： (1)“分类”与“分步”不清，导致计数错误. (2)分类标准不明确，出现“重”“漏”现象. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有 A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 √ 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法. 1 2 3 4 2.现有3名老师、8名男同学和5名女同学共16人.若需1名老师和1名同学参加评选会议，则不同的选法种数为 A.39 　　　B.24 　　　 C.15　　　 D.16 √ 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名同学中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39. 1 2 3 4 3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，则不同选法的种数是 A.56 　　　 B.65 　　　 C.30 　　　 D.11 √ 第一名同学有5种选择方法，第二名有5种选择方法，…，第六名同学也有5种选择方法，综上，6名同学共有56(种)不同的选法. 1 2 3 4 4.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有_____种.(用数字作答) 分为两类：第一类是2名老队员、1名新队员，有3种选法；第二类是2名新队员、1名老队员，有2×3＝6(种)选法，由分类加法计数原理知，共有3＋6＝9(种)不同的选法. 9 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有 A.3种 　　　B.6种 　　　C.7种 　　　D.9种 √ 分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 √ 需分三步完成：第一步，首字符有2种编法；第二步，第二个字符有3种编法；第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知，不同编号的书共有2×3×3＝18(本). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 A.40 B.16 C.13 D.10 √ 分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有 A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 √ 可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线； 同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有 3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有 A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 √ 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选法种数为 A.24 　　　 B.14 　　　 C.10　　　 D.9 √ 由题意可得，不同的选法种数为4×3＋2＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，则选法共有_____种. 根据分类加法计数原理， 担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级， ∴选法共有8＋6＝14(种). 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则共可配成______组. 分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果； 同理，第二类也有30组不同的结果，则共可配成30＋30＝60(组). 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ 选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5＝120(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数称为“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分三类： 第一类，当千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个； 第二类，当千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，当千位数字为5时，“渐降数”有5 432,5 431，5 430，5 421,　5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210，共10个. 由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 A.27种 　　　 B.36种 　　　 C.54种 　　　 D.81种 √ 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为 A.14 　　　 B.13 　　　 C.12 　　　 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，得a＝0，b∈R或a≠0，ab≤1. 又a，b∈{－1,0,1,2}，故 当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； 当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能. ∴由分类加法计数原理知，有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有 A.18条 　　　B.20条　　　 C.25条 　　　 D.10条 第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有_____种. 各个开关有打开或闭合2种情形，故四个开关共有24种可能，其中能使电路通的情形有1,4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故电路不通时这四个开关打开或闭合的方式有24－3＝13(种). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 A.26 B.24 C.20 D.19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理知，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6， 故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19. 16.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. (1)写出这个数列的前11项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列共有多少项？ 这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项). (3)若an＝341，求n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比an＝341小的数有两类，如下表： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 共有2×4×4＋1×3×4＝44(项). 所以n＝44＋1＝45.  ＋ 延伸探究　若例1(1)条件不变，结论变为“则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线”有 $$