第3章 排列、组合与二项式定理 章末检测试卷-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

章末检测试卷一(第三章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n的二项展开式中第m项为 Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1 ＝C(－1)m－1ym－1xn－m＋1， 所以系数为C(－1)m－1. 2．若A＝18C，则m等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　D 解析　由题意得m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，解得m＝6. 3．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为(　　) A．(34,34) B．(43,34) C．(34,43) D．(A，A) 答案　C 解析　由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果． 4．在某市安排的春季义务植树活动中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个植树点，每个植树点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者的派遣方法种数为(　　) A．20 B．14 C．12 D．6 答案　B 解析　依题意甲乙丙丁四人在同一组，有A＝2(种)； (甲乙)，(丙丁)不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个植树点，则有CA＝12(种)，综上可得，一共有2＋12＝14(种)安排方法． 5．(2－)8的展开式中不含x4项的系数的和为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　(2－)8的展开式的通项公式为Tk＋1＝C28－k(－)k＝(－1)k28－kC， ∴x4项的系数为(－1)820C＝1， 又(2－)8的展开式的系数和为(2－)8＝1. ∴不含x4项的系数和为1－1＝0. 6．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．15 答案　B 解析　分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝C＋C＋1＝11. 7．某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(　　) A．120种 B．156种 C．192种 D．240种 答案　C 解析　丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为AAA＝192(种)． 8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(　　) A．120 B．26 C．340 D．420 答案　D 解析　如图所示， 设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析： ①区域A有5种颜色可选； ②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选； ③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选； ④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择． 综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列问题属于排列问题的是(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算 答案　AD 解析　根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题； 对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题． 10．第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有(　　) A．若5人每人可任选一项工作，则有54种不同的方案 B．若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案 C．若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案 D．已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案 答案　BCD 解析　对于A，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有4×4×4×4×4＝45(种)选法，因此A错误； 对于B，分两步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有CA＝240(种)分配方法，因此B正确； 对于C，分两步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有C＝10(种)选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有A＝6(种)情况，则由分步乘法计数原理可得，共有10×6＝60(种)不同的方案，因此C正确； 对于D，分两步分析：在5人中任选2人，安排在第一排有A＝20(种)排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2＝40(种)不同的方案，因此D正确． 11．已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命题中正确的是(　　) A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 023 B．展开式中所有奇次项系数的和为 C．展开式中所有偶次项系数的和为 D.＋＋＋…＋＝－1 答案　ACD 解析　由二项式知C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 023＝22 023，故A正确； 当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022－a2 023＝32 023， 两式相减，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝，故B错误； 两式相加，可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝，故C正确； 由二项展开式的通项知，Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，则a1＝(－2)·C，a2＝ (－2)2·C，…，a2 023＝(－2)2 023·C，所以＋＋＋…＋＝－C＋C－C＋…－C＋C－C＝(1－1)2 023－C＝－1，故D正确． 12．定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”． 给出的下列命题中正确的是(　　) A．记第i(i∈N＋)行中从左到右的第j(j∈N＋)个数为aij，则数列{aij}的通项公式为aij＝C B．第k行各个数的和是2k C．n阶“杨辉三角”中共有个数 D．n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n－1 答案　BCD 解析　第i行各个数是(a＋b)i的展开式的二项式系数，则数列{aij}的通项公式为aij＝C，故A错误； 各行的所有数的和是各二项式系数和，第k行各个数的和是2k，故B正确； 第k行共有(k＋1)个数，从而n阶“杨辉三角”中共有1＋2＋…＋n＝个数，故C正确； n阶“杨辉三角”的所有数的和是1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，故D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若C＝C(n∈N＋)，则n＝________. 答案　4 解析　由题意可知2n＋6＝20－(n＋2)，解得n＝4. 14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答) 答案　54 解析　当甲、乙带不同兴趣小组时有AA＝36(种)，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有CA＝18(种)，根据分类加法计数原理可得共有36＋18＝54(种)． 15．已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中，含x项的系数为19，则当含x2项的系数最小时，展开式中含x7项的系数为________． 答案　156 解析　∵m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中，含x项的系数为19， ∴m＋n＝19. 则当m＝1或n＝1时，含x2项的系数为C＝153； 当m≠1，且n≠1时，含x2项的系数为C＋C＝＝＝n2－19n＋171＝2＋. ∴当n＝10或9时，含x2项的系数最小，为81. ∴f(x)＝(1＋x)9＋(1＋x)10.展开式中含x7项的系数为C＋C＝156. 16．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为________． 答案　264 解析　若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为CCA＝192；若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为CAA＝72，因此不同的演出顺序的种数为192＋72＝264. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N＋}，B＝{x||x－6|<3，x∈N＋}．试问： (1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 解　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}． (1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)．又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点． (2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C＝20(个)． 18．(12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项． 解　二项展开式的通项为Tk＋1＝C2k， 由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的， ∴ 解得n＝7. ∴展开式中二项式系数最大的项是 T4＝C(2)3＝280或T5＝C(2)4＝560x2. 19．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 解　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)选法． (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)选法． (3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有CC＋C＝6 936(种)选法． (4)方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外． 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)选法． 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C－(C＋C)＝14 656(种)选法． 20．(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R. (1)求a，b的值； (2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数． 解　(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， ∴C(x－1)10＋C(x－1)9＋…＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， ∴[C(x－1)8＋C(x－1)7＋…＋C](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， ∴10x－12＝ax＋b， ∴a＝10，b＝－12. (2)∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，解得x＝4， ∴x10－3 ＝410－3 ＝(3＋1)10－3 ＝C×310＋C×39＋…＋C×3＋C－3 ＝34×(C×36＋C×35＋…＋C)＋40×34＋5×34＋28 ＝81×(C×36＋C×35＋…＋C＋45)＋28， ∴所求的余数为28. 21．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； (2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 解　(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类， ①若个位数为0，则共有A＝12(个)符合题意的三位数； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数． 故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数． (2)将这些“凹数”分为三类： ①若十位上的数字为0，则共有A＝12(个)符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有A＝6(个)符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有A＝2(个)符合题意的“凹数”． 故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”． (3)将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有AA＝12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数． 故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数． 22．(12分)已知n的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n的值； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解　(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第k＋1项，则 Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k， 令8－2k＝0，即k＝4， 则Cm4＝，解得m＝±. (3)易知m>0，设第k＋1项系数最大， 则 化简可得≤k≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m只能等于2. 学科网（北京）股份有限公司 $$