4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

4.2.1　随机变量及其与事件的联系 [学习目标]　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件.3.理解随机变量之间的关系． 导语 在一次射击运动训练中，某运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示该运动员射击一次所命中的环数，则X即为随机变量．这就是我们这节课所学习的内容． 一、随机变量的概念 问题1　下述现象有哪些共同特点？ ①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…，10中的某一个数； ②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数； ③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数． 提示　(1)对样本空间Ω中的每一个样本点，变量都有唯一的取值，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系．(2)变量的取值是明确的，可以一一列举． 知识梳理 概念 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示 取值 随机变量的取值由随机试验的结果决定 取值范围 随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围 分类 离散型随机变量 随机变量的所有可能取值可以一一列举出来 连续型随机变量 随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来 注意点： (1)随机变量的取值由随机试验的结果决定． (2)随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数． 例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (3)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量． 反思感悟　(1)判断离散型随机变量的方法 ①明确随机试验的所有可能结果． ②将随机试验的结果数量化． ③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． (2)从具体实例入手，抽象出离散型随机变量的概念，体现了数学抽象的核心素养． 跟踪训练1　下列随机变量中是离散型随机变量的有________，是连续型随机变量的有________．(填序号) ①从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； ②一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； ③某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； ④某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 答案　①②　③④ 解析　①只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． ②从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． ③林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，是连续型随机变量． ④实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量． 二、随机变量的取值与试验结果的对应 问题2　张大爷为森林公园种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ，则ξ的取值范围是什么？事件ξ＝1与事件ξ＝2有可能同时发生吗，为什么？ 提示　ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；事件ξ＝1与事件ξ＝2不可能同时发生，因为两事件是互斥事件． 知识梳理 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X>a相互对立， 因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1. 例2　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 解　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3，4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11. (2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5,6,7. {X＝3}表示“取出标有1,2的两张卡片”； {X＝4}表示“取出标有1,3的两张卡片”； {X＝5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”； {X＝6}表示“取出标有2,4的两张卡片”； {X＝7}表示“取出标有3,4的两张卡片”． 延伸探究　 1．若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？ 其中Y＝2表示什么含义？ 解　Y的所有可能取值有1,2,3. {Y＝2}表示“取出标有1,3或2,4的两张卡片”． 2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果． 解　根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7. {X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”． {X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”． {X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”． {X＝7}表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”． 反思感悟　解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练2　写出下列随机变量的取值范围． (1)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ； (2)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ； (3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟． 解　(1)ξ的取值范围为{1,2,3,4,5,6}． (2)ξ的取值范围为{3,4,5}． (3)ξ的取值范围为[0,59.5]． 三、随机变量之间的关系 问题3　对于问题2，若种10棵树苗的劳务费为200元，每成活一棵树政府额外再奖励植树人5元，如果用η表示张大爷的最终收入，则η与ξ存在怎样的关系？η是随机变量吗？ 提示　η＝5ξ＋200；η是随机变量． 知识梳理 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 例3　某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪500元，每工作1 h再获取35元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝80时，求Y的值； (2)若P(Y>2 950)＝0.27，求P(X≤70)的值． 解　(1)由题意知Y＝500＋35X，当X＝80时，Y＝500＋35×80＝500＋2 800＝3 300(元)． (2)当Y>2 950时，500＋35X>2 950， ∴35X>2 450，∴X>70， 即P(Y>2 950)＝P(X>70)＝0.27， ∴P(X≤70)＝1－P(X>70)＝1－0.27＝0.73. 反思感悟　求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义．对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解． 跟踪训练3　某快递员是按下述方式获取税前月工资的：底薪1 200元，每送取一件商品获取3元，从该快递公司中任意抽取一名快递员，设其月送商品件数为X，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝1 200时，求Y的值； (2)写出X，Y之间的关系式； (3)若P(X≤2 000)＝0.6，求P(Y>7 200)的值． 解　(1)当X＝1 200时， Y＝1 200×3＋1 200＝4 800(元)． (2)Y＝3X＋1 200 . (3)当X≤2 000时，Y≤7 200， ∴P(X≤2 000)＝P(Y≤7 200)＝0.6， ∴P(Y>7 200)＝1－P(Y≤7 200)＝1－0.6＝0.4. 1．知识清单： (1)随机变量的概念及分类． (2)随机变量的取值与试验结果的对应． (3)随机变量之间的关系． 2．方法归纳：列举法、转化法． 3．常见误区：对随机变量的取值不明确． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．随机变量的取值只能是有限个 B．在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面向上的次数”为随机变量 C．随机变量是用来表示不同试验结果的量 D．体积为1 000 cm3的球的半径为随机变量 答案　BC 解析　因为随机变量的每一个取值均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个，因此A错误；因为抛掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，其取值是0,1，因此B正确；由随机变量的定义可知选项C正确；球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量，因此D错误． 2．下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　) A．将一枚均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 答案　C 解析　选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量． 3．(多选)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件可能是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．一枚是4点，一枚是1点 答案　AB 解析　ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点． 4．设随机变量X，Y间满足Y＝|X|＋1，若P(X＝1)＝0.3，P(X＝－1)＝0.7, (1)随机变量X的取值范围是________； (2)P(Y＝2)＝________. 答案　(1){－1,1}　(2)1 解析　(1)由P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1可知，随机变量X只取两个值－1,1，即随机变量X的取值范围是{－1,1}． (2)P(Y＝2)＝P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．掷均匀硬币一次，随机变量为(　　) A．掷硬币的次数 B．出现正面向上的次数 C．出现正面向上的次数或反面向上的次数 D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和 答案　B 解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，X的取值是0,1，所以B正确；A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量． 2．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 答案　ABD 解析　∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1,2,3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来， ∴C中的X不是离散型随机变量 3．袋中装有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3，… 答案　B 解析　第一次取到白球，符合题意，终止取球；第一次取到红球，第二次取到白球，符合题意，终止取球；…；前六次都取到红球，第七次取到白球，符合题意，终止取球．袋中只有6个红球，最多取七次． 4．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的取值范围为(　　) A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z 答案　D 解析　两枚骰子的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)． 5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．{X＝4} B．{X＝5} C．{X＝6} D．{X≤5} 答案　C 解析　因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球， 所以X＝6. 6．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢二局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案　D 解析　甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 7．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________． 答案　300,100，－100，－300 解析　可能有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分． 8．已知P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝P(X＝4)＝0.3，则P(|2X－5|＝1)＝________. 答案　0.5 解析　依题意可知P(|2X－5|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝2)＝0.3＋0.2＝0.5. 9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值； (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型． 解　(1) ξ 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球 (2)由题意可得η＝5ξ＋6， 而ξ可能的取值为0,1,2,3， 所以η对应的各值是 5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6. 故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量． 10．投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y. (1)求P(X＝6)； (2)求P(Y＝6)． 解　样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点，所得点数之和为X，则X的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (1)“X＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，所以P(X＝6)＝. (2)所得点数和为偶数的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，共18个样本点，所得点数之和是偶数为Y，则Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12}， “Y＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，所以P(Y＝6)＝. 11．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 答案　C 解析　列出X所有可能取值：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，共10个． 12．对一批产品逐个进行检测，记第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　　) A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 答案　D 解析　由题意，得ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品． 13．甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围为________；若已知甲一次也未中的概率为0.05，则他至少击中一次的概率为________． 答案　{0,1,2,3}　 0.95 解析　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次，故ξ的可能取值为0,1,2,3.因为一次也未中的概率为0.05，即P(ξ＝0)＝0.05，所以P(ξ>0)＝1－0.05＝0.95. 14．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能取值有________个． 答案　24 解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)． 15．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．10件产品中有3件次品，从中任取2件取到次品的件数为离散型随机变量 B．若随机变量X的取值范围是{0,1,2，－1，－2}且Y＝X2，则Y的取值范围是{0,1,4} C．掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量Y，则P(Y≥5)＝ D．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数为8 答案　ABC 解析　A正确；B中Y＝0,1,4，故正确；C中，P(Y≥5)＝P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝＋＝，故正确； D中，号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种，故错误． 16．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果． 解　因为x，y可能取的值为1,2,3， 所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3， 所以ξ可能的取值为0,1,2,3. 用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽到卡片号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为 {ξ＝0}表示“两次抽到卡片标号都是2，即(2,2)”． {ξ＝1}表示“(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)”． {ξ＝2}表示“(1,2)，(3,2)”． {ξ＝3}表示“(1,3)，(3,1)”． 学科网（北京）股份有限公司 $$