4.1.2.2 全概率公式-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第2课时　全概率公式 [学习目标]　1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式.2.会利用全概率公式解决简单的实际问题. 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，假设遇到拥堵会迟到，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式的概念 问题　有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 因此，取得红球的概率为. 知识梳理 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，如图所示，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)(P(A)>0，P()>0)，即：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)称为全概率公式． 注意点： 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式，解题时需要把题中随机事件合理拆分． 例1　分别在下列各条件下，求P(B)，P(A|B)． (1)P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.25，P(B|)＝0.3； (2)P()＝0.6，P(B|A)＝0.2，P(B|)＝0.4. 解　(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝0.5×0.25＋(1－0.5)×0.3 ＝0.125＋0.15＝0.275. 又∵P(BA)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)， ∴0.5×0.25＝P(B)·P(A|B)， ∴0.125＝0.275·P(A|B)， ∴P(A|B)＝＝. (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝(1－0.6)×0.2＋0.6×0.4＝0.08＋0.24＝0.32. 又∵P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)， ∴(1－0.6)×0.2＝0.32×P(A|B)， ∴P(A|B)＝＝. 反思感悟　(1)公式中BA与B是互斥的． (2)熟记公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)． 跟踪训练1　 (1)已知P()＝0.6，P(B|A)＝0.35，P(B|)＝0.2，则P(B)等于(　　) A．0.26 B．0.27 C．0.28 D．0.29 答案　A 解析　P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.4×0.35＋0.6×0.2＝0.26. (2)若P(BA)＝0.35，P(B)＝0.1，则P(B)＝________. 答案　0.45 解析　P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.35＋0.1＝0.45. 二、全概率公式的简单应用 例2　设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． 解　设B＝“从仓库中随机提出的一台是合格品”， Ai＝“提出的一台是第i车间生产的”，i＝1,2， 则B＝A1B∪A2B，由题意得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6， P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得 P(B)＝ P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 跟踪训练2　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解　记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式， 得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. (2)P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝×＋×＝. 三、定理1的应用 知识梳理 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)>0 ，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn， 且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解． 注意点： 如图，B发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和． 例3　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 解　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 延伸探究　假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如表所示： 产品种类 甲 乙 丙 百分率 60% 20% 20% 优质率 90% 85% 80% 在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率． 解　设事件B为“任取一件产品是优质品”，事件A1，A2，A3表示“所取到的产品分别是甲、乙、丙产品”，由已知得P(A1)＝60%，P(A2)＝20%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝85%，P(B|A3)＝80%， 因此由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝60%×90%＋20%×85%＋20%×80% ＝54%＋17%＋16% ＝87%. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练3　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解　(1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为C＝＝28， 事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为C＝3， ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 1．知识清单： (1)全概率公式的概念． (2)全概率公式的简单应用． (3)定理1的应用． 2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面． 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 答案　C 解析　因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．有朋自远方来，乘汽车、高铁、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1，则他迟到的概率为(　　) A．0.65 B．0.075 C．0.145 D．0.175 答案　D 解析　设A1＝“他乘汽车来”，A2＝“他乘高铁来”，A3＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”． 则Ω＝A1∪A2∪A3， 且A1，A2，A3两两互斥， 由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.4×0.1＝0.175. 3．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，先随机地取一个地区的报名表，再从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设A表示事件“先取到的是女生报名表”，Bi表示事件“取到第i个地区的考生报名表”，i＝1,2,3， ∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi) ＝×＋×＋×＝. 4．已知甲袋中有6只红球和4只白球；乙袋中有8只红球和6只白球，先随机取一袋球，再从袋中随机取一球，该球是红球的概率为________；若合并两袋球，从中随机取一球，该球是红球的概率为________． 答案　　 解析　记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}， ∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝， ∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×＋×＝， 合并两袋后P(B)＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，先从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2 答案　A 解析　以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝； 则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝0.08. 2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 答案　C 解析　设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示事件“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5. 3．盒中有a个红球，b个黑球，先随机地从中取出一球，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 由题意得P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝. 4．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰患色盲的概率是(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 答案　C 解析　用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. 5．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随机各取一球(不放回)，则第二次取到黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B) ＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 由题设易知P(A)＝，P()＝， P(B|A)＝，P(B|)＝， 于是P(B)＝×＋×＝. 6．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　) A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 答案　B 解析　设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175. 7．有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 答案　 解析　设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”(i＝1,2)， 则P(B1)＝P(B2)＝， P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝， 由全概率公式，得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. 8．人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格变化的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为________． 答案　64% 解析　记事件A为“利率下调”，事件为“利率不变”，记事件B为“股票价格上涨”． 依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%， 于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 9．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一人，求此人感染此病的概率． 解　设Ai＝“抽到第i个地区”(i＝1,2,3)，B＝“感染此病”， ∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. ∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝. 10．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先从1号随机箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问： (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱中取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱中取出红球的概率是多少？ 解　记事件A：从2号箱中取出的是红球， 事件B：从1号箱中取出的是红球． P(B)＝＝，P()＝1－＝. (1)P(A|B)＝＝. (2)∵P(A|)＝＝， ∴P(A)＝P(AB)＋P(A) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝. 11．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A．0.21 B．0.06 C．0.94 D．0.95 答案　D 解析　令B表示事件“取到的零件为合格品”，Ai表示事件“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95. 12．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为(　　) A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64 答案　A 解析　设事件A表示“从第一个盒子中取得标有字母A的球”， 事件B表示“从第一个盒子中取得标有字母B的球”， 事件R表示“第二次取出的球是红球”， 则P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝， P(R|B)＝， P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝×＋×＝0.59. 13．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是________． 答案　0.013 解析　设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.B1∪B2∪B3＝Ω，如图所示，由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)，又P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01， 故P(A)＝0.3×0.02＋0.5×0.01＋0.2×0.01＝0.013. 14．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，若该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回；然后再摸一次，则取到2号球的概率为________． 答案　 解析　设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的不是1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝， ∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝. 15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)P2的值为________； (2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________． 答案　(1)　(2)Pn＝－Pn－1＋ 解析　(1)P2＝×＋×＝. (2)Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1＋. 16．5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次． (1)若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率； (2)若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出数字的概率． 解　设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”，k＝1,2,3,4,5. A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字”，则 (1)P(Bk)＝，P(A|Bk)＝(k＝1,2,3,4,5)， 由P(A)＝(Bk)·P(A|Bk)＝· ＝×＝. (2)P(Bk)＝，P(A|Bk)＝(k＝1,2,3,4,5)， ∴P(A)＝(Bk)P(A|Bk) ＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$