3.3.3 二项式定理的应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第3课时　二项式定理的应用 [学习目标]　1.会利用二项式定理解决整除问题和证明不等式.2.能利用二项式定理解决一些简单的问题． 一、整除和余数问题 例1　(1)试求2 02310除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除． (1)解　2 02310＝(8×252＋7)10. ∵其展开式中除末项为710外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 02310除以8的余数与710除以8的余数相同． 又∵710＝495＝(6×8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴710除以8的余数为1，即2 02310除以8的余数也为1. (2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 反思感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练1　已知n∈N＋，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除． 证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 二、证明不等式 例2　求证：2≤n<3(n∈N＋)． 证明　因为当n＝1时，1＝2； 当n>1时，n＝1＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋C·＋…＋C·>2， 所以n≥2成立． 因为C·＝≤， 所以n＝1＋C·＋C·＋…＋C·≤1＋1＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＝2＋1－n－1 ＝3－n－1<3. 所以2≤n<3成立． 反思感悟　利用二项式定理可以证明不等式，注意观察原不等式的形式或通过构造两项和的形式，对原不等式进行恒等变形或适当应用放缩法，最终证明命题． 跟踪训练2　请利用二项式定理证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋)． 证明　当n≥3，n∈N＋时，3n＝(1＋2)n＝1＋C·2＋C·22＋…＋2n >1＋C·2＋C·22＝1＋2n＋·4＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1，所以结论成立． 三、求展开式的系数的和 例3　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k25－kx5－k， 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 延伸探究　在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35. 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. 反思感悟　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝，a0＝f(0)． 跟踪训练3　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20. (1)求a2的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值； (3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值． 解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20， 令x－1＝t， 展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20. (1)a2＝C(－4)9＝－49×10. (2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310， 令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0. (3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310. 1．知识清单： (1)整除与余数问题． (2)证明不等式． (3)求展开式的系数的和． 2．方法归纳：构造法、赋值法． 3．常见误区：在证明或求值中能否正确构造二项式． 1．(x2＋2)6的展开式的常数项为(　　) A．25 B．－25 C．5 D．－5 答案　B 解析　6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝C(－1)kx6－2k.令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分别解得k＝4，或k＝3. 所以(x2＋2)6的展开式的常数项为1×C(－1)4＋2×C(－1)3＝15－40＝－25. 2．设n∈N＋，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为(　　) A．0 B．8 C．7 D．2 答案　A 解析　因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 3．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是(　　) A．2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 答案　D 解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11， 令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，① 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，② 由①②，得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024，即为所求系数之和． 4．230－3除以7的余数为_________． 答案　5 解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 ＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案　A 解析　(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5. 2．1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 答案　B 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. 3．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 答案　D 解析　在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. 4．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　) A．64 B．32 C．63 D．31 答案　C 解析　因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729， 所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－C＝2n－1＝26－1＝63. 5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案　B 解析　设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1. 分别令x＝1，x＝－1，得 两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝. 由已知，得＝364， 所以32n＝729＝36，解得n＝3. (1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大． 6．(多选)(1＋x2)(2＋x)4的展开式中(　　) A．x3的系数为40 B．x3的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 答案　AC 解析　(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确． 7．若5展开式中的常数项为－40，则a＝________. 答案　－3 解析　5展开式的第k＋1项为 Tk＋1＝C(2x)5－kk＝C25－kx5－2k. 因为5的展开式中的常数项为－40， 所以axC22x－1＋C23x＝－40， 所以40a＋80＝－40，解得a＝－3. 8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________. 答案　－ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 9．用二项式定理证明1110－1能被100整除． 证明　1110－1＝(10＋1)10－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋102 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1) 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除． 10．已知(3x－1)n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求2n的展开式中： (1)所有二项式系数之和； (2)二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项． 解　(1)由题意C＝C，解得n＝5. 二项式系数和为210＝1 024. (2)由于2n＝10为偶数，所以10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T6＝T5＋1＝C(2x)55＝－8 064. (3)设第k＋1项的系数的绝对值最大， 则Tk＋1＝C(2x)10－kk ＝(－1)kC210－kx10－2k， 所以 得 即 解得≤k≤，∵k∈N＋，∴k＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项， 即T3＋1＝(－1)3C210－3x4＝－15 360x4. 11．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 答案　C 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 12．若(x2－a)10的展开式中含x6项的系数为30，则a等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　10的展开式的通项是 Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k， 10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C. 因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，解得a＝2. 13．设a∈Z，且0≤a<15，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．12 D．14 答案　D 解析　512 023＋a＝(13×4－1)2 023＋a，被13整除余a－1，结合选项可得当a＝14时，512 023＋a能被13整除． 14．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为____________． 答案　272 解析　(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x的项为C2x＋C4x＝(2C＋4C)x， ∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18， (1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n， ∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n， ∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n ＝16n2－148n＋612＝162＋， ∴当n＝时，t取最小值，但n∈N＋， ∴当n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272. 15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 答案　A 解析　由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10， 由二项式定理可得a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1， 即a除以10的余数为1， 因为a≡b(mod 10)， 所以b的值除以10的余数也为1， 观察选项，只有2 021除以10的余数为1， 则b的值可以是2 021. 16．求(1＋x＋x2)8展开式中含x5项的系数． 解　方法一　(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8， 所以Tr＋1＝C(x＋x2)r， 则x5的系数由(x＋x2)r来决定， Tk＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k，令r＋k＝5， 因为r，k∈N，且k≤r， 解得或或 所以展开式中含x5项的系数为C·C＋C·C＋C·C＝504. 方法二　(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7x2＋C(1＋x)6(x2)2＋C(1＋x)5(x2)3＋…＋C(1＋x)(x2)7＋C(x2)8，则展开式中含x5项的系数为C·C＋C·C＋C·C＝504. 学科网（北京）股份有限公司 $$