3.3.2 二项式系数的性质、杨辉3角-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角 [学习目标]　1.掌握二项式系数和的性质.2.通过研究杨辉三角进一步研究二项式系数的特点． 导语 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右． 一、 二项式系数的和 问题1　含有n个元素的集合有多少个子集？你是如何得到的？ 提示　2n；根据子集中元素的个数进行分类：0个元素的子集有C个，1个元素的子集有C个，2个元素的子集有C个，…，于是我们得到所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C，在二项式定理(a＋b)n的展开式中，我们令a＝1，b＝1，即可得到C＋C＋C＋…＋C＝2n. 知识梳理 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 例1　已知二项式n(n∈N＋)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096. (1)求n(n∈N＋)的展开式中的常数项； (2)在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2＋n的展开式中，求x3项的系数． 解　(1)因为二项式n(n∈N＋)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096， 所以C＋C＋…＋C＝2n＝4 096＝212， 可得n＝12， n即12的展开式的通项是 Tk＋1＝C12－kk＝C12－k(k＝0,1,2,3，…，12)， 令＝0，得k＝3， 所以常数项是T4＝C9＝. (2)由(1)知n＝12， (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2＋n，即(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14， (1＋x)3，(1＋x)4，…，(1＋x)14展开式中x3项的系数分别为C，C，…，C， 所以(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14的展开式中x3项的系数为 C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C … ＝C＋C＝C＝1 365. 反思感悟　解决此类问题的思路 (1)所有项二项式系数的和为2n，奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和相等，都等于2n－1. (2)结合组合数的性质求值． 跟踪训练1　已知二项式(2x＋1)n的展开式中共有6项． (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中含x2的项． 解　(1)由于二项展开式有6项，故n＝5. 所有二项式的系数和为25＝32. (2)二项式(2x＋1)5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k＝C25－kx5－k， 令5－k＝2，得k＝3. 故展开式中含x2的项为C22x2＝40x2. 二、与杨辉三角有关的问题 问题2　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝0,1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 提示　1,7,21,35,35,21,7,1. 知识梳理 杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 注意点： (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C； (2)增减性与最大值：①增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．②最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． 例2　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 答案　34 解析　由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3. 反思感悟　解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系． (2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． (3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 跟踪训练2　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 答案　C 解析　根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22. 三、二项式系数性质的综合应用 例3　在n(n∈N＋)的展开式中所有二项式系数之和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解　(1)∵n(n∈N＋)的展开式中所有二项式系数之和为2n＝256，∴n＝8， 故展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck. 令＝0，解得k＝2， 故展开式中的常数项为C·＝. (2)由于n＝8，故当k＝4时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为T5＝C·4· ＝. 反思感悟　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 跟踪训练3　(1)在(1－x)2n－1的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案　D 解析　由二项式系数的性质得，二项式系数最大为＝C，＝C，分别为第n项与第n＋1项． (2)2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 答案　C 解析　由题意，C＝C，易知n＝5， 通项公式为Tk＋1＝C()10－kk＝C， 令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210. 1．知识清单： (1)二项式系数的和． (2)杨辉三角． (3)二项式系数性质的综合应用． 2．方法归纳：赋值法、归纳法． 3．常见误区： (1)二项式系数与系数的区别． (2)二项式系数最大的项的个数． 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 答案　B 解析　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件． 2.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6,7项 D．第5,7项 答案　C 解析　11的展开式中第项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大． 3．在如图所示的杨辉三角中，第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　) A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 答案　B 解析　由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除． 4．在二项式(1＋2x)5的展开式中，第三项的系数为________，所有的二项式系数之和为________． 答案　40　32 解析　二项式(1＋2x)5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k，当k＝2时，第三项的系数为C22＝40. 所有的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＋C＋C＝25＝32. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在(1＋x)n(n∈N＋)的展开式中，若只有含x5项的系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　C 解析　由题意知，展开式共有11项，所以n＝10. 2．已知二项式(2x－1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为(　　) A．－80 B．80 C．－160 D．－120 答案　C 解析　由题意得n＝6，所以(2x－1)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k(－1)k，令6－k＝3，得k＝3，故T3＋1＝C(2x)3(－1)3＝－160x3，故展开式中含x3项的系数为－160. 3．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 答案　D 解析　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n＝10， ∴展开式中奇数项的二项式系数之和为210－1＝29. 4．已知关于x的二项式n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 答案　C 解析　由题意知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk＋1＝C()5－kk＝Cak中，令＝0，得k＝3. 所以Ca3＝80，解得a＝2. 5．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为(　　) A．530 B．502 C．503 D．505 答案　B 解析　由题意，得“上升”的正整数包含两位数有C个，三位数有C个，…，九位数有C个，则所有“上升”的正整数的个数为C＋C＋C＋…＋C＝29－C－C＝502. 6．(多选)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，…，则(　　) A．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小 B．在第9条斜线上，各数之和为55 C．在第11条斜线上，最大的数是C D．在第n条斜线上，共有个数 答案　AC 解析　对于A，由定义以及图中规律可知，都是自左往右先增大后减小，故A正确； 对于B，由题意，根据杨辉三角定义继续往下写三行 由图可知，第9条斜线上，各数之和为 1＋10＋15＋7＋1＝34，故B错误； 对于C，第11条斜线上，最大的数是35＝C，故C正确； 对于D，由图，每条斜线上数的个数为1,1,2,2,3,3，…， 代入符合，故D错误． 7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 答案　10 解析　由题意得2n＝32，故n＝5. Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k， 令10－5k＝0，得k＝2. 故展开式中的常数项为T3＝C＝10. 8．已知(1＋λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且(1＋λx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若a1＋a2＋…＋an＝242，则4展开式中的常数项是________． 答案　24 解析　由题意得C＝C，因此n＝5. 因为(1＋λx)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，所以令x＝0，可得a0＝1. 令x＝1，则(1＋λ)5＝a0＋a1＋a2＋…＋a5. 又a1＋a2＋…＋a5＝242，所以(1＋λ)5＝243＝35，因此λ＝2. 所以4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－kk＝C2kx4－2k.由4－2k＝0，得k＝2， 因此4展开式中的常数项为T3＝C22＝24. 9．已知n的展开式中，所有项的二项式系数之和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项． 解　(1)由题意得2n＝64， 解得n＝6. (2)由通项公式Tk＋1＝C(3x)6－kk ＝(－1)kC36－k， 令6－k＝0，可得k＝4， 所以展开式中的常数项为T4＋1＝C32＝135. 10．在二项式n的展开式中，________.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③若展开式中第7项为常数项． 试在三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项． 注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分． 解　选择①：C＋C＋C＝46， 即＋n＋1＝46， 即n2＋n－90＝0，即(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9或n＝－10(舍去)， 选择②：C＋C＋C＋…＝256，即2n－1＝256，解得n＝9. 选择③：Tk＋1＝Cn－kx－(n－k)＝C2k－n，则有＝0，所以n＝k. 因为展开式中第7项为常数项，即k＝6，所以n＝9. (1)展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项， T5＝C2－5x－3＝x－3， T6＝C2－4＝. (2)展开式通项为Tk＋1＝C9－kx－(9－k)＝C·2k－9，令＝0，所以k＝6， 所以展开式中常数项为第7项，常数项为 T7＝C×2－3＝. 11．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 答案　B 解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10， ∴a8＝C＝C＝45. 12．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　) A．330 B．462 C．682 D．792 答案　B 解析　由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11， ∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462. 13．已知多项式(x＋2)m(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n满足a0＝4，a1＝16，则m＋n＝________，a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝________. 答案　5　72 解析　∵多项式(x＋2)m(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n满足a0＝4，a1＝16，∴令x＝0，得a0＝2m×1n＝4，则m＝2，∴(x＋2)2(x＋1)n＝(x2＋4x＋4)(x＋1)n，∴a1＝4C1n＋4C1n－1＝16，∴n＝3，∴m＋n＝5.令x＝1，得(1＋2)2×(1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝72. 14．已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________. 答案　255 解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知，B－A＝38.令x＝－1， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…) ＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数的性质，可得 C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255. 15．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n(n≥3)行第3个数是________． 答案　(n∈N＋，n≥3) 解析　杨辉三角中的每一个数C都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形， ∵杨辉三角中第n(n≥3)行第3个数是C，∴“莱布尼茨调和三角形”中第n(n≥3)行第3个数是＝. 16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角． (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数． 试用含有m，k(m，k∈N＋)的数字公式表示上述结论，并给予证明． 解　(1)C＝1 140. (2)C＋C＋…＋C＝C. 证明如下： 左边＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝…＝C＋C ＝C ＝右边． 学科网（北京）股份有限公司 $$