3.3.1 二项式定理-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第1课时　二项式定理 [学习目标]　1.能用基本计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 导语 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643—1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理 问题1　观察下列几个等式： (a＋b)1＝a＋b； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧是如何形成的吗？ 提示　右侧展开式的项数比左侧的次数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列的，各项的系数与组合数有某种关系；以(a＋b)2为例：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 问题2　你能根据问题1的分析，写出(a＋b)5的展开式吗？ 提示　(a＋b)5＝Ca5＋Ca4b＋Ca3b2＋Ca2b3＋Cab4＋Cb5. 知识梳理 二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn. 上述公式称为二项式定理． (1)展开式：等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项． (2)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． (3)通项公式：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项公式，记作Tk＋1＝Can－kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换． (4)二项式系数与二项展开式项的系数不同． 例1　求4的展开式． 解　方法一　4 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4 ＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. 反思感悟　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 跟踪训练1　求5的展开式． 解　方法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　5＝5＝ ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3·(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5] ＝32x5－120x2＋－＋－. 二、二项式定理的逆用 例2　(1)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解　原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n. (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C·(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝5＝(2x)5＝32x5. 延伸探究　若将本例(1)中的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果． 解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝ (－1)n. 反思感悟　逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 跟踪训练2　化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋… ＋(－1)nC. 解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 三、二项展开式通项的应用 例3　若n展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项． 解　(1)由已知可得C＋C·＝2C·， 即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)． 所以展开式的通项为Tk＋1＝C()8－kk＝， 令4－k＝1，解得k＝4. 所以含x的一次项为T5＝C2－4x＝x. (2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以展开式的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝. 反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 跟踪训练3　在6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项． 解　(1)第3项的二项式系数为C＝15， 又T3＝C(2)42＝240x， 所以第3项的系数为240. (2)展开式的通项为Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k， 令3－k＝2，解得k＝1， 所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. 1．知识清单： (1)二项展开式的形成过程． (2)二项式定理的正用与逆用． (3)二项展开式的通项的应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项． 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 答案　B 解析　展开式的项数比二项式的指数大1. 2.9的展开式中的第4项是(　　) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 答案　B 解析　T4＝Cx63＝84x3. 3．二项式6的展开式中，常数项是________． 答案　240 解析　二项式6的第k＋1项为 Tk＋1＝C(2x)6－kk＝C26－kx6－3k， 令6－3k＝0，解得k＝2， 所以常数项是C·24＝240. 4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________． 答案　x4 解析　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2 (－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若n＋5的展开式有16项，则自然数n的值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．16 答案　B 解析　因为n＋5的展开式共有n＋6项，所以n＋6＝16，解得n＝10. 2.10展开式中的常数项为(　　) A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在 答案　C 解析　根据题意，10展开式中的通项为Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k， 令10－2k＝0，可得k＝5，则其常数项为第5＋1＝6项． 3．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　A 解析　由已知得C＝C，可知n＝1＋5＝6. 4．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是(　　) A．840 B．－840 C．210 D．－210 答案　A 解析　在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840. 5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　) A．32 B．－32 C．1 024 D．512 答案　A 解析　因为a＝2－，所以a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10＝(2－－2)10＝ (－)10＝25＝32. 6．(多选)对于二项式n(n∈N＋)，下列判断正确的有(　　) A．存在n∈N＋，展开式中有常数项 B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故AD正确． 7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________. 答案　8 解析　(1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，解得n＝8. 8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字作答) 答案　 解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，解得a＝. 9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C， T2＝C()n－1＝－2C， 依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，又n∈N＋，解得n＝9. (2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－k·k＝(－2)kC，所以＝3， 解得k＝1， 所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3. 二项式系数为C＝9. 10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得C＋C＝2C， 即＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项为Tk＋1＝C·＝C·＝C， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 当k＝0时，T1＝Cx7＝x7； 当k＝6时，T7＝Cx6＝3 003x6； 当k＝12时，T13＝Cx5＝91x5. 11．(多选)若2n的展开式中存在常数项，则n的值可能为(　　) A．16 B．10 C．5 D．2 答案　BC 解析　2n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－kk＝C(－1)k，令＝0，得k＝，又k∈N，n∈N＋，所以结合选项知n可取5和10. 12．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．21 答案　B 解析　∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6. 13．已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N，n>4)，若2a2＋an－3＝0，则n＝________. 答案　8 解析　(1－x)n的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－x)k，所以ak＝(－1)k·C(k＝0,1,2，…，n)．由2a2＋an－3＝0，得2(－1)2·C＋(－1)n－3C＝0，即2×－＝0，所以n－2＝6，解得n＝8. 14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则： (1)n的值为________； (2)含x的整数次幂的项有________个． 答案　(1)10　(2)6 解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kC. (1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10. (2)要使20－k为整数，需k为偶数，由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项． 15．在10的展开式中，x2项的系数为(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 答案　B 解析　在10的展开式中，通项公式为Tr＋1＝Cr. 对于r，通项公式为Tk＋1＝Cxr－2 023k，k≤r，r，k∈N，r≤10. 令r－2 023k＝2，可得r＝2＋2 023k， 故k＝0，r＝2， 故x2项的系数为C·C＝45. 16. 已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋)． (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解　(1)当m＝3，n＝4时， f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4. (1＋x)3展开式的通项为Tr＋1＝Cxr， (1＋2x)4展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k， f(x)g(x)的展开式中含x2的项为 1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. ∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12， ∴C＋2C＝12， 即m＋2n＝12，所以m＝12－2n. 含x2项的系数为C＋4C＝C＋4C ＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1) ＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N＋， 所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$