3.1.3.3 组合数的应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第3课时　组合数的应用 [学习目标]　1.掌握具有限制条件的组合问题的解决方法.2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题． 一、有条件限制的组合问题 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 解　(1)C－C＝825(种)． (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法． (3)分两类： 第一类，女队长当选，有C＝495(种)选法， 第二类，女队长没当选，剩余女生4人分别有1人，2人，3人，4人当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法． 反思感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 跟踪训练1　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210种 B．420种 C．56种 D．22种 答案　A 解析　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)． (2)为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　) A．720 B．768 C．810 D．816 答案　B 解析　根据题意知，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有A＝840(种)， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有A＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有CAA＝48(种)， 则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)． 二、不同元素的分组分配问题 例2　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 解　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为 ＝＝15. (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为 CCC＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为 ＝＝15. 延伸探究 1．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 解　在本例(2)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法． 2．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 解　可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有CCC＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有CCCA＝360(种)方法；③“1,1，4型”，有CA＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法． 反思感悟　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 跟踪训练2　将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 解　(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法． (3)方法一　先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，故共有A＝144(种)放法． 方法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144(种)放法． (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·2＝8(种)放法． 三、相同元素的分组分配问题 例3　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 解　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法． 反思感悟　相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 跟踪训练3　某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 答案　B 解析　可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C＝＝6(种)；②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C＝4(种)．∴不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 1．知识清单： (1)有限制条件的组合问题． (2)不同元素的分组分配问题． (3)相同元素的分组分配问题． 2．方法归纳：分类讨论、均分法、隔板法，间接法． 3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位． 1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) A．A种 B．45种 C．54种 D．C种 答案　D 解析　由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种． 2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有(　　) A．60种 B．48种 C．30种 D．10种 答案　C 解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有CC＝30(种)． 3．为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有(　　) A．90种 B．180种 C．30种 D．15种 答案　A 解析　将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有A种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为A＝90，故选A. 4．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答) 答案　55 解析　由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 第一类，甲去乙不去，有C种选派方案； 第二类，乙去甲不去，有C种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案． 故共有C＋C＋C＝55(种)不同的选派方案． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　) A．90 B．115 C．210 D．385 答案　B 解析　依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有CC＝90(种)；三个黑球，有CC＝24(种)；四个黑球，有C＝1(种)． 根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115. 2．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有(　　) A．CC B．AA C. D．AAA 答案　C 解析　此题为平均分组问题，有种分法． 3．假如北京大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A．30 B．21 C．10 D．15 答案　D 解析　用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法． 4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　) A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 答案　D 解析　根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种；有一个“多面手”的选派方法有CCC种；有两个“多面手”的选派方法有CCC种，即共有CC＋CCC＋CCC＝92(种)不同的选派方法． 5．若方程x1＋x2＋x3＋x4＝8，其中x2＝2，则方程的正整数解的个数为(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 答案　A 解析　因为方程x1＋x2＋x3＋x4＝8，其中x2＝2， 则x1＋x3＋x4＝6， 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用隔板法将其分成3组， 第一组小球数目为x1， 第二组小球数目为x3， 第三组小球数目为x4， 共有C＝10(种)方法， 故方程的正整数解的个数为10. 6．(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A．若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有C种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 答案　BD 解析　对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有A＝30(种)；③两个班都是2个名额，有C＝15(种)；④两个班1个名额，一个班2个名额，有CC＝60(种)；⑤四个班都是1个名额，有C＝15(种)，则共有126(种)，故C错误，D正确． 7．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 答案　30 解析　分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有C·C＋C·C＝30(种)不同的选法． 8．某地奥运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答) 答案　96 解析　甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法．丙传第一棒，共有C·A种方法．由分类加法计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96(种)不同的传递方法． 9．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生． (1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案； (2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案． 解　(1)由题意得，5名学生分成3组，人数分别为2,2,1， ∴分配方案有＝90(种)． (2)由题意得，从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2,2或3,1， ∴分配方案有C＝70(种)． 10．现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求下列情况中的问题． (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？ (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？ 解　(1)有A＝120(种)不同的方法． (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有AAA＝24(种)不同的方法． (3)按人数分配方式分类： ①3,1,1，有A＝60(种)方法； ②2,2,1，有A＝90(种)方法． 故共有60＋90＝150(种)分配方法． 11．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　) A．205 B．110 C．204 D．200 答案　A 解析　方法一(分类法)　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二(间接法)　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. 12.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 答案　C 解析　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200. 13．(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　BD 解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人． 14．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程．甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程时，每名教师至少教一门，且甲不教“数”，则不同的课程安排方案种数为________． 答案　1 440 解析　当甲只教一门时，不同的安排方案有C××A＝1 200(种)；当甲教两门时，不同的安排方案有CA＝240(种)，所以甲不教“数”的课程安排方案有1 200＋240＝1 440(种)． 15．福厦高速铁路，正线全长300.483千米.2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米，为了加快推动重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设．项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有(　　) A．6种 B．18种 C．36种 D．72种 答案　D 解析　根据题意把6人分成3组，共有＝15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有＝3(种)分法，可得甲、乙不在同一组中，共有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12×A＝72(种)不同的方案． 16．(1)求方程x1＋x2＋x3＋x4＝5的非负整数解的组数； (2)某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 解　(1)设yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4)，则y1，y2，y3，y4为正整数，方程等价于y1＋y2＋y3＋y4＝9.则原题等价于将9个相同元素分成4份，每份至少一个，用隔板法可得，不同的分法有C＝56(种)，则方程y1＋y2＋y3＋y4＝9的正整数解有9个，即方程x1＋x2＋x3＋x4＝5的非负整数解有56组． (2)设分别有z1，z2，z3，z4个人在第1号，第2号，第3号，第4号安检口通过，则z1＋z2＋z3＋z4＝4(z1，z2，z3，z4为非负整数)．由(1)可得，此方程的非负整数解的个数为C，所以不同的进站方案有AC＝840(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$