3.1.3.2 组合数的性质-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第2课时　组合数的性质 [学习目标]　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有C种．不上场的方案有C种．C＝C＝56. 知识梳理 组合数的性质1：C＝C. 注意点： (1)“互补性”． (2)等式两边下标相同，上标的和等于下标． 例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________. 答案　2 023　 解析　C＝C＝2 023，C·C＝C·C＝. (2)(多选)若C＝C(n∈N＋)，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　BD 解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，解得n＝5或7. 反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　) A．1 B．10 C．11 D．55 答案　C 解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11， C＝C＝C＝11. (2)若C＝C，则C＝____________. 答案　28 解析　由C＝C， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)，故C＝28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，C＝C＋C. 知识梳理 组合数的性质2：C＋C＝C. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数． (2)体现了“含”与“不含”的分类思想． 例2　(1)已知m≥4，则C－C＋C等于(　　) A．1 B．m C．m＋1 D．0 答案　D 解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　D 解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C … ＝C＋C ＝C＝C. 延伸探究　若将式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？ 解　C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1 … ＝C＋C－1＝C－1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　∵C＝C＋C＝C， ∴n＋1＝7＋8，解得n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 答案　B 解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C. 三、组合数公式的应用 例3　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 解　(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法． (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法． 若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法． 反思感悟　在求与两个基本计数原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 跟踪训练3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 解　(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)． 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (2)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)． 所以至少有2种假货在内的不同取法有 2 555种． (3)选取3种的种数有C，因此共有选取方法 C－C＝6 090(种)． 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． 1．知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解． (2)组合数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：分类讨论、间接法． 3．常见误区： (1)不注意组合数中m与n的限制条件． (2)计算中不能构造组合数性质． 1．若C＝C(n∈N＋)，则n等于(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　D 解析　由C＝C(n∈N＋)，根据组合数的性质可得，C＝C＝C(n∈N＋)， 则n－2＝5，解得n＝7. 2.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，边ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　) A．30 B．42 C．54 D．56 答案　B 解析　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为C－C－C＝42. 3．某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(　　) A．15 B．45 C．60 D．75 答案　C 解析　从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有CC＝90(种)选法． 语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的选法有CC＝30 (种)， 所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90－30＝60. 4．C＋C＋C＋…＋C的值等于________． 答案　C 解析　因为C＝C， 所以C＋C＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋C＋…＋C＝C＝C. 1．若C－C＝C(n∈N＋)，则n等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案　B 解析　根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C，由组合数性质可得，C＋C＝C，即C＝C，则可得到n＋1＝6＋7，解得n＝12. 2．化简：C＋2C＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　B 解析　由组合数性质知，C＋2C＋C＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C. 3．方程C＝C的解集为(　　) A．{4} B．{14} C．{4,6} D．{14,16} 答案　C 解析　由题意知或 解得x＝4或6. 4．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 答案　D 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故有CC种不同的选法． 5．C＋C＋C＋C＋C＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．A 答案　B 解析　因为C＋C＝C， 所以C＋C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C ＝C＋C ＝C. 6．(多选)对于m，n∈N＋，关于下列排列组合数，结论正确的是(　　) A．C＝C B．C＝C＋C C．A＝CA D．A＝(m＋1)A 答案　ABC 解析　根据组合数的性质与组合数的计算公式C＝， C＝ ＝，故A正确； 因为C＝， C＋C＝ ＋＝， 所以C＝C＋C，故B正确； 因为A＝， CA＝·m！＝， 所以A＝CA，故C正确； 因为A＝，(m＋1)A＝(m＋1)·≠，故D不正确． 7．计算：C＋C＋C＋…＋C＝________. 答案　124 解析　由已知，得n需满足 即 ∴原式＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝124. 8．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成的方法种数是__________． 答案　2 100 解析　按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2 100(种)抽法． 9．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市． (1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ (2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 解　(1)从5名男司机中选派3名，有C种方法， 从4名女司机中选派2名，有C种方法， 根据分步乘法计数原理得，共有 CC＝CC＝×＝60(种)不同的选派方法． (2)从9人中任选5人运货有C种方法． 其中1名男司机，4名女司机有CC＝5(种)选法． 所以至少有两名男司机的选派方法共有C－5＝121(种)． 10．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378(种)不同的选法． 11．从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　) A．28 B．49 C．56 D．85 答案　B 解析　依题意，满足条件的不同选法的种数为CC＋CC＝49. 12．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　任取三条的不同取法有C＝10(种)，钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况，故n＝10，m＝2，＝. 13．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　) A．120 B．240 C．360 D．720 答案　B 解析　先选出3个球有C＝120(种)方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．所以这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240(种)方法． 14．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙两个会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种． 答案　2 520 解析　从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有CCC＝2 520(种)． 15．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答) 答案　336 解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 16．你能构造一个实际背景，对等式k·C＝n·C的意义作出解释吗？ 解　从n个人中选k(k≤n)个人参加比赛，其中一名为队长， 则C·C＝C·C(n，k∈N＋，k≤n)， 即k·C＝n·C. 学科网（北京）股份有限公司 $$