3.1.2.1 排列与排列数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 [学习目标]　1.理解并掌握排列及排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.2.理解排列数公式的推导，并能利用公式进行计算和证明． 导语 同学们，上节课我们提到汽车牌照号码的问题，如果我们对汽车牌照号码增加一些特殊的规定，如果每一个汽车牌照必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字组成，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，当然我们可以用分步乘法计数原理解决这个问题，这其实就是我们今天要研究的排列问题． 一、排列概念的理解 问题1　思考下列三个问题，指出它们有什么样的共同特征： (1)从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的北京市和天津市上色，有多少种不同的着色方案？ (2)从1,2,3,4这四个数字中，选出三个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？ (3)6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？ 提示　从不同的元素中选出几个元素，按照一定的顺序排成一列． 知识梳理 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 注意点： 排列的特点，互异性、有序性． 例1　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题． 反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”：检验取出的m个元素是否重复． (2)“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 跟踪训练1　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解　(1)不是．(2)是．(3)第一问不是，第二问是． 理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数结果不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题． 二、排列数 知识梳理 排列数的定义 (1)从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． (2)排列数公式的乘积式A＝＝n(n－1)…(n－m＋1)，其中m，n∈N＋，并且m≤n. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积． (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1. 例2　四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算A. 解　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24. 画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 延伸探究　对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的坐法有几种？ 解　由例2的树形图可知这样的坐法共有24－6＝18(种)． 反思感悟　利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． 跟踪训练2　写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 解　由题意作树形图，如图． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个． 三、排列数公式的计算、化简与证明 问题2　现在你能解决问题1中，6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法的问题吗？ 提示　A＝6×5×4×3×2×1＝720. 知识梳理 (1)全排列公式：A＝n×(n－1)×…×2×1＝n！，n∈N＋. (2)排列数公式的阶乘式：A＝，其中m，n∈N＋，m≤n. 规定：A＝1,0！＝1. 例3　(1)计算下列各式． ①A；②；③A；④. 解　①A＝8×7×6＝336. ②＝＝336. ③A＝7×6×5＝210. ④＝＝210. (2)①用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)； ②化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)． 解　①∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. ②由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝A. (3)利用排列数公式证明A－A＝mA. 证明　∵A－A＝－ ＝·＝·＝m·＝mA， ∴A－A＝mA. 反思感悟　排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 跟踪训练3　(1)(多选)下列等式正确的是(　　) A. (n＋1)A＝A B.＝(n－2)! C．A＝A·A D.A＝A 答案　ABD 解析　对于A, (n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，故A正确； 对于B，＝＝(n－2)！，故B正确； 对于C，A＝A·A≠A·A，故C错误； 对于D，A＝·＝＝A，故D正确． (2)不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 答案　D 解析　由A<6A，得<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又所以3≤x≤8，② 由①②及x∈N＋，得x＝8. 1．知识清单： (1)排列及排列数的定义． (2)“树形图”法列举排列． (3)排列数公式的计算、化简与证明． 2．方法归纳：树形图法． 3．常见误区： (1)忽视排列定义中对“顺序”的特殊要求． (2)忽视A中“n，m是正整数”这个条件． 1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 答案　BCD 解析　选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关；选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关． 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B．甲乙丙、乙丙甲 C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D．甲乙、甲丙、乙丙 答案　C 解析　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙． 3．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 答案　C 解析　89×90×91×92×…×100＝＝＝A. 4.＝________. 答案　36 解析　＝＝36. 1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 答案　BD 解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字的位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　) A．A B．A C．n！－4! D．A 答案　D 解析　由题意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝A. 3．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 答案　B 解析　列树形图如图， 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种． 5．已知集合中A中有n个元素，其中有一个为0.现从A中任取两个元素x，y组成有序实数对(x，y)．在平面直角坐标系中，若(x，y)对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　依题意知A＝56，即(n－1)(n－2)＝56，解得n＝9或n＝－6(舍去)，故n＝9. 6．(多选)下列选项中正确的是(　　) A．n！＝ B．A＝nA C．A＝ D．A＝ 答案　AB 解析　∵＝＝n！，∴A正确； ∵nA＝n·＝＝A，∴B正确； ∵A＝，∴C错误； ∵A＝，∴D错误． 7．从a，b，c，d，e这五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________． 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　画出树形图如图， 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 8．已知集合B＝{x|x＝A，m∈N＋}，则B中元素的个数为________． 答案　3 解析　由题意可知m＝1,2,3,4.当m＝1时，A＝A＝4；当m＝2时，A＝A＝12；当m＝3时，A＝A＝24；当m＝4时，A＝A＝24.由集合中元素的互异性，可知B中元素的个数为3. 9．写出下列问题的所有排列． (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？ 解　(1)列出每一个起点和终点的情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有：北京－广州，北京－南京，北京－天津，广州－南京，广州－天津，广州－北京，南京－天津，南京－北京，南京－广州，天津－北京，天津－广州，天津－南京，共12种． (2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类，如图所示， 由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种． 10．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数的偶数？ 解　首先应考虑“0”这个特殊元素，当0排在末位时，有A＝9×8＝72(个)， 当0不排在末位时，有A·A·A＝4×8×8＝256(个)， 于是由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328(个)． 11．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 答案　B 解析　∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)． 12．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 答案　C 解析　A＝1，A＝2，A＝6，A＝24，个位数之和为1＋2＋6＋4＝13，而A，A，…，A都含有5和至少一个偶数，∴个位数字均为0，∴S的个位数字为3. 13．方程3A＝2A＋6A的解为________． 答案　5 解析　由排列数定义可得解得x≥3，x∈N＋， 原方程可化为3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3，∴可化为3x2－17x＋10＝0， 即(3x－2)(x－5)＝0， 解得x＝5或x＝(舍去)． 14．化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝________. 答案　(n＋1)！－1 解析　∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！， ∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. 15．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有________种． 答案　14 解析　列树形图如图， 由图可知，所有不同试验方法为a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． 16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 解　由题意可知，原有车票的种数是A，现有车票的种数是A， ∴A－A＝62， 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62. ∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31， ∵m<2n＋m－1， 且n≥2，m，n∈N＋， ∴解得 故原有15个车站，现有17个车站． 学科网（北京）股份有限公司 $$