3.1.1.2 基本计数原理的应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第2课时　基本计数原理的应用 [学习目标]　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.能正确应用两个计数原理解决实际问题． 导语 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，车牌号码需要进行扩容，这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数，号码的个数是如何进行计算的呢？今天我们就来学习一下． 一、组数问题 例1　用0,1,2,3,4五个数字． (1)可以排出多少个不同的三位数字的密码？ (2)可以排成多少个不同的三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解　(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排成 5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码． (2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法， 因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数． (3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18(种)排法． 故共有12＋18＝30(种)排法， 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 反思感悟　常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数且两位及其以上的数首位数字不能是0，被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 跟踪训练1　(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 答案　B 解析　由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12个；如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6个，因此奇数总共有12＋6＝18(个)． (2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 答案　B 解析　0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 二、抽取与分配问题 例2　(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 答案　C 解析　方法一　(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)． 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)． 方法二　(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案． (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________． 答案　2 解析　不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有2×1×1＝2(种)． 延伸探究　若将“甲、乙、丙三人”改为“甲、乙、丙、丁四人”，其他条件不变，则有多少种不同的取法？ 解　不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有3×3×1×1＝9(种)． 反思感悟　选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 跟踪训练2　(1)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　) A．280种 B．240种 C．180种 D．96种 答案　B 解析　由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案． (2)某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有________种． 答案　20 解析　由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类： 第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种． 第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12(种)． 因此有8＋12＝20(种)不同的选法． 三、涂色与种植问题 例3　(1)如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有________种不同的涂法． 答案　18 解析　①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3,2,1,2，则有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法． ②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3,2,1,1，则有3×2×1×1＝6(种)不同的涂法． 所以根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18(种)不同的涂法． (2)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 答案　420 解析　按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法． 反思感悟　求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． (5)对于相邻不同色的记忆口诀“相邻则递减，不相邻则分类”． 跟踪训练3　(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有______种． 答案　18 解析　方法一　(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法． 故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 方法二　(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法． (2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种． 答案　72 解析　①当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)． ②当使用三种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法． 由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)．综上，不同的着色方法共有48＋24＝72(种)． 1．知识清单： (1)两个计数原理的区别与联系． (2)两个计数原理的应用． 2．方法归纳：分类讨论、正难则反． 3．常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题． 1．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为(　　) A．11 B．30 C．56 D．65 答案　B 解析　先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30(种)不同的组队方法． 2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　　) A．15 B．12 C．10 D．5 答案　D 解析　分三类，第一类组成一位整数，其中偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知，共有5个偶数． 3．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 答案　C 解析　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传递方式． 4.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答) 答案　750 解析　首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法． 1．某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　) A．9×8×7×6×5×4×3×2 B．8×97 C．9×107 D．8.1×107 答案　D 解析　电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107. 2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 答案　D 解析　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况． 3．用数字1,2,3组成的3位数(各位上的数字允许重复)，其中比200大的有(　　) A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 答案　C 解析　由题意可知，首位数字为2或3，由分步乘法计数原理可知，比200大的3位数的个数为2×3×3＝18. 4.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　) A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 答案　D 解析　如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线． 5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　) A．360种 B．50种 C．60种 D．90种 答案　B 解析　①甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)；②甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法． 6．(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．所有可能的选法有34种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的选法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的选法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的选法有24种 答案　BCD 解析　对于A，所有可能的方法有43种，A错误； 对于B，分三种情况：第一种，若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的排法有3×3＝9(种)，此种情况共有3×9＝27(种)，第二种，若有两名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有3×3＝9(种)，第三种，若三名同学都去工厂甲，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37(种)不同的选法，B正确； 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种选法，共有4×4＝16(种)选法，C正确； 对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有4×3×2＝24(种)选法，D正确． 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点形成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个． 答案　40 解析　满足条件的有两类： 第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个； 第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32(个)， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)． 8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，恰含有一个奇数的子集的个数为________． 答案　12 解析　∵集合A＝{1,2,3,4,5}有3个奇数，2个偶数， ∴子集中选取一个奇数，偶数可以有0个，1个(两种)，2个，共4种情况， ∴恰含有一个奇数的子集个数为12. 9.有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，则共有多少种不同的种植方法？ 解　方法一　第一步，种植A试验田有4种方法； 第二步，种植B试验田有3种方法； 第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3(种)种植方法． 若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4(种)种植方法． 由分类加法计数原理知，有3＋4＝7(种)种植方法． 由分步乘法计数原理得，共有N＝4×3×7＝84(种)不同的种植方法． 方法二　(1)若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理得，共有4×3×3＝36(种)种植方法． (2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理得，共有4×3×2×2＝48(种)种植方法． 综上所述，由分类加法计数原理得，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法． 10．有6张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数． 解　将1,2,3,4,5,6中数字之和等于7的两个数字分成一组，记A＝{1,6}，B＝{2,5}，C＝{3,4}． 第一步，排第一行的两个数字，先从A，B，C三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有2×2＝4(种)选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为3×4×2＝24. 第二步，排第二行的两个数字，先从A，B，C中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为2×2×2＝8. 第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法． 由分步乘法计数原理，知不同的排法种数为24×8×2＝384. 11.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有(　　) A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 答案　B 解析　假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)． 12．某公司新招聘8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　) A．18 B．24 C．36 D．72 答案　C 解析　由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案；②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，方法有3种，共3×2×3＝18(种)分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)． 13．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 答案　B 解析　四个人工小岛记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连，用“－”表示桥． (1) A只有一座桥相连时，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6种； (2) A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6种， 故共有12种设计方案． 14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有________种． 答案　180 解析　依次给区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ涂色，分别有5,4,3,3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法的种数为5×4×3×3＝180. 15．用黑白两种颜色随机地染如图所示的表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(　　) A．15 B．16 C．18 D．20 答案　D 解析　依题意知，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6. 故①当1,3,5号格子为黑色时，有23＝8(种)； ②当1,3号为黑色且5号为白色时，若2号为黑色，则有22＝4(种)，若2号为白色，则4号为黑色，有2种，故此时共有4＋2＝6(种)； ③当1号为黑色，3号为白色时，2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2(种)，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4(种)，故此时共有2＋4＝6(种)． 综上，共有8＋6＋6＝20(种)． 16．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N＋)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花． (1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？ (2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？ 解　(1)先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分．因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有3×2×1＝6(种)． (2)当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法；当a1，a3同色时，有3×2×1×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$