第4章 习题课 数列中的构造问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

习题课 数列中的构造问题 第四章　数　列 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 学习目标 一、形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 二、形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 课时对点练 三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式 随堂演练 内容索引 形如an＝pan－1＋pn的 递推关系求通项公式 一 例1　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式. 5 延伸探究　 1.将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 6 2.将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 7 形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. (2)写出数列 的通项公式. (3)写出数列{an}的通项公式. 反思感悟 8 由题意，等式两边同乘2n， 9 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 二 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式. ∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2(an＋t)， 即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， 即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 11 形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t). (4)写出数列{an}的通项公式. 反思感悟 12 跟踪训练2　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2且a1＝1，则 A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an＋1}是等比数列 D.{an＋2}是等比数列 √ 13 由an＋1＝2an＋2， 可得an＋1＋2＝2(an＋2)， 又由a1＝1，得a1＋2＝3， 所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1，an＝3×2n－1－2， an＋1＝3×2n－2， an＋1－an＝3×2n－2－(3×2n－1－2)＝3×2n－1， 所以{an}不是等差数列； 14 所以{an}不是等比数列； 所以{an＋1}不是等比数列. 15 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式 三 例3　已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，求an. 令an＋1－A·3n＋1＝2(an－A·3n)， 所以an＋1－3×3n＋1＝2(an－3×3n)， 即an＋1－3n＋2＝2(an－3n＋1)， 又a1－32＝6－9＝－3≠0， 所以{an－3n＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列， 于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1－3×2n－1. 17 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系. 反思感悟 18 跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式. 令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，又a1＋22＝5≠0， 所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1，即an＝5×3n－1－2n＋1. 19 1.知识清单： (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式. (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式. (3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an>513，则n的最小值是 A.9 B.10 C.11 D.12 √ 因为an＋1＝2an－1， 又a1－1＝2－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列. 则an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1. 因为an>513，所以2n－1＋1>513，所以2n－1>512，所以n>10，故n的最小值为11. 1 2 3 4 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于 A.－15×216 B.15×217 C.－16×216 D.16×217 √ 1 2 3 4 所以a17＝－15×216. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6等于 A.2 016 B.2 018 C.2 020 D.2 022 √ 因为an＋1＝4an＋2n， 所以an＋1＋2n＝4(an＋2n－1)， 所以数列{an＋2n－1}是等比数列，首项为2，公比为4， 则an＋2n－1＝2×4n－1＝22n－1， 可得an＝22n－1－2n－1， 则a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2 016. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}满足关系：a1＝1，当n≥2时，2an－an－1＋1＝0，则a5等于 √ 2.数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为 ∵数列{an－1}是等比数列， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}(n∈N*)的首项为1，又(2an－an＋1＋1) ，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列{an}的通项公式是 A.an＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为点O在直线l外，A，B，C三点均在l上， 故2an－an＋1＋1＋1＝1，即an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， 故an＋1＝2n，则an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 023≥a1，则a1的取值范围为 A.(－∞，－3] B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.[－3，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2(an＋3)， 当a1＝－3时，an＝－3，满足题意； 所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列， 所以an＋3＝(a1＋3)×2n－1， 所以an＝(a1＋3)×2n－1－3， 所以a2 023＝(a1＋3)×22 022－3≥a1， 所以(a1＋3)×22 022≥a1＋3，所以a1＋3≥0，所以a1≥－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2n＋1an＋1＝2nan＋2， 即2n＋1an＋1－2nan＝2. 又21a1＝2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n， 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为_____. 由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3， 得Sn＋1＋3＝2(Sn＋3)， 又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4， 所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3， 所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得k≥6. 所以k的最小值为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为___________. an＝3n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2； 当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)， 两式相减得2an＝3an－3an－1－2， 即an＝3an－1＋2， 所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*). (1)求a2，a3的值； a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1＝3an－4n＋2， ∴an＋1－2n－2＝3an－6n， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n). ∴an－2n≠0，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＝3n－2＋2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，n∈N*. 由题意知an≥4 000， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lg 2≈0.3， ∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12. 故经过12年后，该项目的资金可达到或超过翻两番的目标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12等于 A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.定义：若 ＝q(n∈N*，q为非零常数)，则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 023－a2 022的值是 A.22 023 B.22 022 C.22 021 D.22 020 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4， 即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an＋1－an＝2n－1，则a2 023－a2 022＝22 021. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋an＝3，则 ＝______. 364 ∵2Sn＋an＝2Sn＋(Sn－Sn－1)＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是 A.数列{Sn＋n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1 C.数列{an＋1}为等比数列 D.数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn＋1＝2Sn＋n－1， 又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即 ≠ ，故C错误； 由Sn＝2n－n，所以Sn＋1－Sn＋1＝2n＋1－n－1－2n＋n＋1＝2n，故D正确. 16.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3(n≥2). (1)若an＝bn，求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1， 所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3， (2)若b1＝0，an－1＋bn＝1(n≥2)，证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3，又an－1＋bn＝1， 所以an＋1－an－1＝2(n≥2). 因为b1＝0，所以a2＝3， 则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋(k－1) ×2＝2k，k∈N*； {a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋(k－1)×2＝2k＋1，k∈N*. 综上所述，an＝n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an－an－1＝(n＋1)－n＝1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n， 所以bn＝1－n. 因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1＝n－，所以an＝×2n. 等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2＝2n－，即an＝×2n. 等式两边同时除以2n，得＝＋，即－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，即an＝n×2n－1. 得＝＋1，即－＝1， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝. 跟踪训练1　已知数列{an}满足＝＋，且a1＝1，求数列{an}的通项公式. (2)由待定系数法，解得t＝. (3)写出数列的通项公式. 所以＝2， ＝不等于常数， ＝不等于常数， 则an＋1＝2an＋·3n＋1， 由已知，＝1，得A＝3， 所以an＋1－1＝2(an－1)，即＝2， 由题意可得＝－， 即－＝－， 据此可得，数列是首项为＝， 公差为－的等差数列， 故＝＋(17－1)×＝－， 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为 A.2n－1 B.2n＋1 C. D. ∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2. ∴为等差数列，公差为2，首项为＝1. ∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝. 因为当n≥2时，2an－an－1＋1＝0，则an＝an－1－，所以an＋1＝ ，且a1＋1＝2，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以an＋1＝2×n－1，即an＝n－2－1，所以a5＝3－1＝－. A.31 B.15 C.－ D.－ 由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ. A.1 B.－1 C. D.2 ∴＝1，λ＝2. ＝－ 因为(2an－an＋1＋1)＝－，所以＝(2an－an＋1＋1)＋， 当a1≠－3时，＝2， 5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.若bn＝log2，则数列的通项公式bn等于 A.n B.n－1 C.n D.2n 由an＋1＝，得＝1＋， 所以＋1＝2， 又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2×2n－1＝2n， 所以bn＝log2＝log22n＝n. 6.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于 A.2n B.n(n＋1) C. D. ∵an＋1＝an＋， ∴an＝. 整理得＝3， 由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5， 由(1)知a1－2＝－2＝， ∴＝3， ∴an－2n＝×3n－1＝3n－2， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列. 则由已知得an＋1＝an－200， 即an＋1＝an－200. 令an＋1－x＝，即an＋1＝an－， 由＝200，得x＝800. ∴an＋1－800＝. 故数列是以a1－800为首项，为公比的等比数列. ∵a1＝1 000×－200＝1 050， ∴a1－800＝250，∴an－800＝250×n－1， ∴an＝800＋250×n－1(n∈N*). ∴800＋250×n－1≥4 000，即n≥16. 两边取常用对数得nlg ≥lg 16， 即n≥4lg 2. 11.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，则an等于 A.－ B.－ C.－ D.－ 因为a1＝，an＋1＝an＋n＋1，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得 2n＋1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－n－1，解得an＝－. 于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.所以a12＝12×212＝49 152. 可得＝2，a2－a1＝1， ∴Sn－＝(n≥2)，而当n＝1时，2a1＋a1＝3，即a1＝1，则S1－＝－， ∴数列是以－为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝－·n－1，即有S6＝－，而a6＝3－2S6＝， ∴＝＝×＝364. 所以＝＝2. 整理得an－＝－， 所以是以a1－＝为首项，－1为公比的等比数列. 故an－＝×(－1)n－1， 即an＝＋×(－1)n－1. $$