第4章 习题课 数列求和(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

习题课　数列求和(一) 第四章　数　列 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式. 2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和、裂项相消法求和等数列求和的方法. 学习目标 一、分组求和与倒序相加法求和 二、拆项、并项求和 课时对点练 三、裂项相消法求和 随堂演练 内容索引 分组求和与倒序相加法求和 一 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1. 于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an. 又当n＝1时， a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. 5 (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) 6 分组求和的适用题型 一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 反思感悟 7 跟踪训练1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 解得d＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n， 数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 8 (2)记cn＝　　　　　　　(k∈N*)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留 指数幂的形式) 9 由(1)知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 则数列{cn}的前21项的和T21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(b2＋b4＋…＋b20) 10 例2　已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满 足an＝f(0)＋　　　　　　　　　　　＋f(1)，求数列{an}的通项公式. 11 ∵f(x)＋f(1－x)＝1， ①＋②得2an＝n＋1， 12 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 反思感悟 13 跟踪训练2　德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此， 此方法也称为高斯算法.已知数列an＝　　 　，则a1＋a2＋…＋a98等于 A.96 B.97 C.98 D.99 √ 14 两式相加得， ∴S＝98. 15 拆项、并项求和 二 例3　已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 方法一　若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝ . 若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝ 方法二　可采用分组求和(略). 17 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式. 反思感悟 18 跟踪训练3　已知数列{an}满足an＝(－1)nn2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1等于 A.－(n＋1)(2n＋1) B.(n＋1)(2n＋1) C.－n(n＋1) D.n(n＋1) √ a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1 ＝－12＋22－32＋42－52＋…＋(2n)2－(2n＋1)2 ＝－1＋(22－32)＋(42－52)＋…＋[(2n)2－(2n＋1)2] ＝－1－(2＋3)－(4＋5)－…－(2n＋2n＋1) ＝－[1＋2＋3＋4＋5＋…＋(2n＋1)] 19 裂项相消法求和 三 常见的裂项求和的形式： 知识梳理 21 (8)(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]； 知识梳理 22 注意点： (1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. (2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. (3)检验所留的正项与负项的个数是否相同. 知识梳理 23 例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 24 设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20， 25 当q＝－2时，a1＝－5， 所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1. 26 所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1， 27 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 反思感悟 28 跟踪训练4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*). (1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； 由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{bn}是以首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以bn＝an＋1＝2n. 29 30 31 1.知识清单： (1)分组求和. (2)倒序相加求和. (3)并项求和. (4)裂项相消求和. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)并项求和易忽略总项数的奇偶. (2)裂项相消求和易忽略正负项个数是否相同. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的共有 A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 √ 1 2 3 4 当n为奇数时，an＋2＝an， 当n为偶数时，an＋2－an＝2， 所以a1＝a3＝…＝a29＝1， a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列， 1 2 3 4 2.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为 A.2n－1 B.2n－1－1 C.2n－n－1 D.2n＋1－n－2 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 所以当n≥2时， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 1 2 3 4 1 2 3 4 2 022 两式相加得，2S＝2 022×2，∴S＝2 022. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023等于 A.－2 024 B.－1 012 C.－506 D.1 012 √ 1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023 ＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(2 021－2 023) ＝－2×506＝－1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 023等于 A.3 033 B.3 034 C.3 035 D.3 036 √ 由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 023＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 021＋a2 022)＋a2 023＝3×1 011＋1＝3 034. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4，∴数列{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1， ∴an＝2n＋1－3， ∴a3＝13， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝______. 设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°， ① 将①式右边反序得， S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin23°＋sin22°＋sin21°， ② ①＋②得， 2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°) ＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89， ∴S＝44.5. 44.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an 9.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若数列{an}的通项公式是an＝ 其前n项和为Sn，则S30 等于 A.120 B.180 C.240 D.360 √ 由题意得S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝(1＋2＋…＋15)＋(1＋2＋…＋15)＝ ×2＝240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ} 的前2 022项和为 A.1 010 B.1 011 C.2 021 D.2 022 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d， ∴an＝2n－1，设bn＝ancos nπ， ∴b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…， ∴数列{ancos nπ}的前2 022项和S2 022＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 021 ＋b2 022)＝2× ＝2 022. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0， 若f(x)＝ ，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)等于 A.2 022 B.4 036 C.2 023 D.4 038 √ ∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 023＝0， ∴lg(a1·a2 023)＝0，即a1·a2 023＝1. 令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 023)， 则T＝f(a2 023)＋f(a2 022)＋…＋f(a1)， ∴2T＝f(a1)＋f(a2 023)＋f(a2)＋f(a2 022)＋…＋f(a2 023)＋f(a1)＝2×2 023， ∴T＝2 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 在各项都为正数，公比设为q(q>0)的等比数列{an}中，若a1＝2，且a1·a5＝64，则4q4＝64，解得q＝2，则an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的通项公式为an＝ 求数列{an}的前n项 和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n为大于或等于3的奇数时， Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1) 当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当n为偶数时， ＝＋. 而cn＝(k∈N*)， ＝11×2＋11××4＋＝， 所以数列{cn}的前21项的和为. f ＋f ＋…＋f  ∴f ＋f ＝1. ∵an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)， ① ∴an＝f(1)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(0)， ② ∴an＝，故数列{an}的通项公式为an＝. S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝＋＋…＋＋， S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝＋＋…＋＋， 2S＝＋ ＝＋＋…＋＋＝98×2， －n＝－. 综上所述，Sn＝n∈N*. ＝－＝－(n＋1)(2n＋1). (1)＝； (2)＝； (3)＝－； (4)＝； (5)＝－； (6)ln＝ln(n＋1)－ln n； (7)＝； (9)＝(－1)n. 易知q≠1，所以T2＝＝4， ① T4＝＝20， ② 由得1＋q2＝5，解得q＝±2. 当q＝2时，a1＝，所以an＋1＝×2n－1＝； 所以an＝－1或an＝－(－2)n＋1－1. 因为an>0，所以an＝－1， (2)若an>0，设bn＝log2(3an＋3)，求数列的前n项和. 所以＝＝－， 所以数列的前n项和为＋＋…＋ ＝－＝. (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：＋＋…＋<. 易得Tn＝＝2(2n－1)， 于是＝＝－＝， 所以＋＋…＋＝ ＝， 因为>0， 所以＋＋…＋<. 所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝15＋15×2＋×2＝255. ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1， ∴Sn＝＋＋…＋＝－n＝2n＋1－n－2. 3.已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则数列的前10项和为 A. B. C. D. 两式相减得(2n－1)an＝2，an＝， 又a1＝2，满足此式，所以an＝， ＝＝－， 所以数列的前10项和为＋＋…＋ ＝1－＝. 4.已知f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f ＋f ＋…＋f ＝________.   f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝2， 令S＝f ＋f ＋…＋f ， 则S＝f ＋f ＋…＋f ， 2.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为 A.n2＋1－ B.n2＋2－ C.n2＋1－  D.n2＋2－ 数列1，3，5，7…的通项公式为an＝2n－1＋n， 所以Sn＝＋＋＋＋…＋ ＝＋ ＝＋ ＝n2＋1－. 4.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和Sn为 A.4 B.4 C.1－ D.－ ∵an＝＝＝， ∴bn＝＝＝4. ∴Sn＝4＝4. 数列{an}的前20项和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2×(1＋2＋…＋20)－3× ＝2×－3×＝420－×. 5.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为 A.380－× B.420－× C.400－× D.440－× ∴Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4. 8.数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝___________. － an＝＝ ＝＝－， ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－. 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3＝3n－5. 当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. 由已知得 解得 (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和. bn＝＝， 所以{bn}的前n项和为 ＝＝. 则解得 ∵函数f(x)＝， ∴f(x)＋f ＝＋＝＝2. 14.数列{an}满足，n∈N*，其前n项和为Sn，若Sn<M恒成 立，则M的最小值为_____. an＝＝， 可得其前n项和Sn＝＝， 由>0，可得Sn<， 由Sn<M恒成立，可得M≥， 即M的最小值为. 15.在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1＝2，且a1·a5＝64，则数列的前n项和是 A.1－ B.1－ C.1－ D.1－ 数列 即为. ∵＝－， ∴数列的前n项和是 －＋－＋…＋－＝1－. ＝·＋＝＋ ＝＋. Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－2＋4n)＝＋ . 综上，Sn＝n∈N*. $$