第4章 习题课 等差数列概念的综合问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

习题课 等差数列概念的综合问题 第四章　数　列 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 2.掌握等差数列中项的设法. 学习目标 一、等差数列的有关计算 二、等差数列的实际应用 课时对点练 三、等差数列的综合应用 随堂演练 内容索引 等差数列的有关计算 一 例1　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 所以这三个数为4,3,2. 5 (1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项…时，可同理设出. (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项…时，可同理设出. 反思感悟 6 跟踪训练1　四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 7 等差数列的实际应用 二 例2　(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 A.冬至的日影子长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 √ √ √ 9 依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N*，n≤12)是等差数列，因此，a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，解得a4＝12.5，又a12＝4.5，设数列{an}的公差为d，于是得 a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； a8＝a1＋(8－1)d＝8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确. 10 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解决数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 反思感悟 11 跟踪训练2　1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是 A.470 B.472 C.474 D.476 由图中“正方形筛子”给出的信息，可得第1列是首项为4，公差为3的等差数列，第i行是公差为2i＋1的等差数列，则第7行的第1个数是4＋6×3＝22，即第7行是首项为22，公差为15的等差数列，所以第7行第31列的数是22＋30×15＝472. √ 12 等差数列的综合应用 三 例3　若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四 个根组成首项为 的等差数列，则数列的公差d＝____，m＋n的值为____. 设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0，1－4n>0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝ ， 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 反思感悟 17 跟踪训练3　在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当 取最小值时，n的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 18 设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1＋(n＋1)×3，所以n＝5. 19 1.知识清单： (1)等差数列的有关计算. (2)等差数列的实际应用. (3)等差数列的综合应用. 2.方法归纳：解方程组法、转化法、数学建模. 3.常见误区：对等差数列的性质不理解而致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则tan(a4＋a6)的值为 √ 1 2 3 4 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是 A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 √ 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d， 所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 1 2 3 4 3.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容 量？在这个问题中，中间一节的容量为_____升. 1 2 3 4 方法一　设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d， 1 2 3 4 ① ② 1 2 3 4 4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为－24，则这三个数为_________________. 设这三个数分别为a－d，a，a＋d. －2,2,6或6,2,－2 故所求三个数为－2,2,6或6,2，－2. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－ ＋a8＝0，则a7等于 A.1 B.8 C.4 D.2 √ 由题意得2a7－ ＝0， 解得a7＝2或a7＝0(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为 A.0 B.37 C.100 D.－37 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， 所以数列{an＋bn}仍然是等差数列. 又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为 A.24 B.36 C.48 D.60 √ 设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120＝5a9， ∴a9＝24， ∴3a12－a18＝3(a9＋3d)－(a9＋9d)＝2a9＝48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 023是该数列的一项，则公差d不可能是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 由2 023是该数列的一项，得2 023＝3＋(n－1)d，所以n＝ ＋1，因为d∈N*，所以d是2 020的约数，故d不可能是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为 A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤， 则a1＝2，a5＝4， 根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3， 所以中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m＋n<p＋q时有am＋an＝ap＋aq成立，则 等于 A.4 B.1 C. D.由等差数列的首项a1的值决定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d，由am＋an＝ap＋aq得(m＋n－p－q)d＝0. 因为存在正整数m，n，p，q满足m＋n<p＋q，所以d＝0， 又a1≠0，所以a2 022＝a2 023≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_______. 设这三个数为a－d，a，a＋d， －21 ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴它们的积为－21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为_______. ∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2. 1或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数. 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 又四个数成递减等差数列，所以d<0， 故所求的四个数为11,8,5,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，且a1＝0. (1)求a2，a3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在一个实数λ，使得数列 为等差数列，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设等差数列{an}的公差为d，若数列 为递减数列，则 A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 √ 由数列 为递减数列，得 ， 再由指数函数的性质得a1an－1>a1an， 由等差数列{an}的公差为d知，an－an－1＝d， 所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 等于较小的两份之和，则最小的一份为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0， 则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20. 由 (a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d， 得3a＋3d＝7(2a－3d)， ∴24d＝11a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是 A.(2,4) B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(4，＋∞) √ 16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元). 比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 则 解得 解得A正确； ∴x2＝，数列的公差d＝＝， ∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝. ∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝. ∴m＋n＝＋＝. ＋ 所以(a＋b)＝1＋16＋＋≥17＋2＝25， 即＋≥＝，当且仅当＝， 因为{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝3a5＝π，所以a5＝， 所以tan(a4＋a6)＝tan 2a5＝tan ＝－. A.－ B.－ C.－ D. 由题意知 则解得 故a5＝a1＋4d＝. 方法二　由方法一得 即 即 ①×9＋②×10得66a5＝67， 故a5＝. 解得或 由题意可得 a a 所以＝1. 则 解得或 依题意，得 解得或 所以d＝－， 因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)， 所以a2＝＝，a3＝＝. 假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－＝－＝＝－， 且＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列. A.13 B.3－ C.3－ D.5－ 所以d＝＝. 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. A. B. C. D. ∴d＝， ∴最小的一份为a－2d＝20－＝. 所以＋＝＝＝＝1. 14.等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝______. 设公差为d，∵a1＋a10＝4，∴2a1＋9d＝4，∴a1＝2－d，∴a8＝a1＋7d＝2＋d，∵d>0，∴a8＝2＋d>2. $$