第4章 习题课 等比数列的概念的综合问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

习题课 等比数列的概念的综合问题 第四章　数　列 1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 2.理解等比数列与等差数列之间的转化. 3.掌握等比数列的综合应用问题. 学习目标 一、等比数列的实际应用 二、等差数列与等比数列的相互转化 课时对点练 三、等比数列的综合应用 随堂演练 内容索引 等比数列的实际应用 一 例1　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 5 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)， a3＝13.5×(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元. 6 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 7 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答. 反思感悟 8 跟踪训练1　我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”是几乎每家每户都会进行的迎新活动，而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅宁波北仑新碶民间的剪纸作品.北仑一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了 该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度(单位：mm)是_______. 1 mm 由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23＝0.1(cm)，即1 mm. 9 等差数列与等比数列的相互转化 二 问题1　若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？ 问题2　若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？ 提示　设bn＝lg an，若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列. 1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列　 　是等比数列. 2.若数列{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列，则数列{logaan}是等差数列. 注意点： (1)其底数a满足a>0，且a≠1. (2)等比数列 的公比为ad. (3)等差数列{logaan}的公差为logaq. 知识梳理 12 例2　(1)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝ 求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式. 依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 13 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式. 14 设等比数列{an}的公比为q， ∵数列{an}是各项均为正数的等比数列， 又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)， b1＝log2a1＝1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴bn＝2n－1. 15 在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.特别注意等比数列是否有意义. 反思感悟 16 跟踪训练2　数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是 A.n－1 B.n＋1 C.2n－1 D.2n＋1 √ 17 由log2an－1＝log2an＋1， 即log2an＋1－log2an＝－1， ∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n， 则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1. 18 等比数列的综合应用 三 例3　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； 设数列{an}的公差为d，由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. 20 (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)， 即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 因为a1，ak，Sk＋2成等比数列， 21 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用. (2)对于解答题注意基本量及方程思想. (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题. (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系. 反思感悟 22 跟踪训练3　已知等比数列{an}的首项a1＝16，公比q＝ ，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； 23 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 24 (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由. Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝24·23·…·25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n) 即当n＝4或5时， Tn有最大值 ＝210＝1 024. 25 1.知识清单： (1)等比数列的实际应用. (2)等差数列与等比数列的相互转化. (3)等比数列的综合应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化法. 3.常见误区： (1)在应用题中，容易忽视数列的项数. (2)等差数列与等比数列转化时忽视等比数列是否有意义. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成 A.64个 B.128个 C.256个 D.255个 √ 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256(个). 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为 A.48 B.72 C.144 D.192 √ 1 2 3 4 3.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn A.是等比数列 B.是等差数列 C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列 √ 1 2 3 4 4.已知x>0，y>0，若x，a，b，y成等比数列，x，c，d，y成等差数列，则 的最小值为_____. 由题意知ab＝xy，c＋d＝x＋y， 4 当且仅当x＝y时等号成立. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项， 所以 ＝a1a7， 设数列{an}的公差为d，则d≠0， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)， 所以a1＝2d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于 A.12 B.24 C.30 D.32 √ 设等比数列{an}的公比为q， 所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于 A.－2 B.2 C.－8 D.8 √ √ 故a＝2或a＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a， b，c A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 A.13 B.12 C.11 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由最后三项的积为9， ① ② ∵所有项的积为729， ∴a1a2…an＝729， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ ＝729， ∴3n＝(36)2＝312， ∴n＝12. ∴a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝729， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等比数列{an}中，anan＋1＝4n－1，则数列{an}的公比为_____. 设等比数列{an}的公比为q. ∵anan＋1＝4n－1>0， ∴an＋1an＋2＝4n且q>0， 2 即q2＝4，∴q＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________. 2 048 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某公司的销售额下跌严重，从2023年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售收入构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32， 解得x＝50%. 设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5， 所以从2023年的7月算起第5个月，即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； 因为bn＝log2an， 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an 所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b1＋b3＋b5＝6， 所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6， 即b3＝2. 又因为a1>1， 所以b1＝log2a1>0， 又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为d＝log2q＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4的值为 A.23 B.32 C.36 D.40 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设bn＝an＋n， 则{bn}为等比数列， 设公比为q，则b2＝a2＋2＝3，b3＝a3＋3＝9， ∴q＝3， ∴b4＝b3·3＝9×3＝27， 即a4＋4＝27，∴a4＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， 所以{log2an}是等差数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知{an}是各项均为正数的等比数列，给出下列结论：①a2a4＝a1a5；②a1＋a5≥2a3；③a1＋a5≥a2＋a4；④若a5>a3，则a4>a2.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q(q>0). 根据等比数列的概念可知①正确； 对于④，因为{an}的各项均为正数，且a5>a3，所以q>1，所以a4>a2，④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有 A.a3＋a9≤b4＋b10 B.a3＋a9≥b4＋b10 C.a3＋a9≠b4＋b10 D.a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设an＝a1qn－1，bn＝b1＋(n－1)d， ∴(a3＋a9)－(b4＋b10) ＝(a1q2＋a1q8)－(b1＋3d＋b1＋9d) ＝a1q2＋a1q8－2(b1＋6d)＝a1q2＋a1q8－2b7 ＝a1q2＋a1q8－2a1q5＝a1q2(1＋q6－2q3) ＝a1q2(1－q3)2≥0. ∴a3＋a9≥b4＋b10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_________. 275或8 设数列{an}的公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， ① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)， 整理得d2－a1d－d＝0， ② 由①②解得d＝3或d＝0， 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题 图可得第10行第11个数为数列{an} 中的第92项，a92＝3×92－1＝275. 当d＝0时，an＝8，a92＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝ n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1＝1也适合上式，∴an＝n. (2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， ∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4. 得2k＋1＝2或2k＋1＝－2， ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 提示　设bn＝22n＋1，则bn－bn－1＝22n＋1－22n－1＝22n－1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故不是等差数列；而＝＝22n＋1－(2n－1)＝22＝4，是常数，故是等比数列. 于是bn＝3－n，b1＝2＝. 而＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝×2n－1＝2n－3. 由已知得q4＝＝28. ∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1. 即log2 ＝－1，得＝， ∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝2n－1， 解得 由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n). 所以a＝a1Sk＋2， 由已知得，数列{bn}的首项b1＝16，b5＝a2＝16×＝1， 即＝＝q＝， ∴q1＝， 即bn＝b1q＝16×n－1＝25－n. 数列{an}是等比数列，则a3a4a5＝a＝3，a6a7a8＝a＝24， 而＝＝8，故a9a10a11＝a＝24×8＝192. 因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即，，成等差数列. 所以＝＝＝＋＋2≥2＋2＝4， A. B.4 C.2 D. 所以公比q＝＝＝2. a 则q＝＝＝2， 由已知得解得或 设该数列的项数为n，则由前三项的积为3，得aq3＝3， 得an－2·an－1·an＝aq3n－6＝9， ①×②，得a·q3·a·q3n－6＝27， ∴aq3n－3＝27， ∴aqn－1＝3. ∴(aqn－1)n＝7292， A.2 B. C.3 D. 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝×＝. a＝27.所以a5＝. 两式相除可得＝＝4， 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048. ＝log2＝log2q(q>0)为常数， 即即解得 因此Sn＝4n＋×(－1)＝. 所以q＝，又b1＝log2a1＝4， 所以a1＝16，所以an＝16×n－1＝25－n(n∈N*). 12.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列的前10项之和是 A.45 B.－35 C.55 D.－55 由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝， 又由a1q＝a1×＝，解得a1＝， 所以an＝n， 则log2an＝log2n＝－n， 数列{log2an}的前10项之和为S10＝＝－55. 对于②，a1＋a5＝a3≥2a3，当且仅当q＝1时，等号成立，所以②正确； 对于③，a1＋a5－(a2＋a4)＝a3·＝(1－q)(1－q3)≥0，所以③正确； ， 由nSn＋1－(n＋1)Sn＝， 得－＝， ∴数列是首项为＝1，公差为的等差数列， ∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 由(1)知an＝n，Sn＝. 则S＝ak·a4k，即2＝k·4k. 解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾. $$