第4章 数列 章末检测试卷 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

章末检测试卷一(第四章) (时间：120分钟　满分：150分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 17 18 19 20 21 22 A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a3＋a4＝2，则a4＋a5等于 A.4 B.8 C.16 D.32 √ 由a3＋a4＝q(a2＋a3)，可得q＝2， 所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 023条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 023，则其公差为 由题意，知最长弦长为直径，即a2 023＝10，最短弦长和最长弦长垂直， 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7等于 A.1 B.3 C.6 D.9 √ 因为等比数列{an}的各项均为正数，且log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，即log3(a1·a2·…·a12)＝12，所以a1·a2·…·a12＝312，所以(a6a7)6＝312，所以a6a7＝32＝9. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＋a7>0，a6＋a8<0，则Sn最大时n的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a7>0，a6＋a8<0， ∴a6＋a8＝2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于 A.45 B.75 C.80 D.90 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8(a1＋a5)可知a1q3＋a5q3＝8(a1＋a5)， 所以q＝2，S12＝(a1＋a5＋a9)＋(a2＋a6＋a10)＋(a3＋a7＋a11)＋(a4＋a8＋a12) 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝ ，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设 数列 的前n项和为Tn，若Tn< m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为 A.(－1,3) B.[－1,3] C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞) 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 17 18 19 20 21 22 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式是 A.an＝3n，n∈N* B.an＝3n－1，n∈N* C.an＝(－1)n－13n，n∈N* D.an＝2n－1，n∈N* 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3. ∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n. 故数列{an}的通项公式是an＝3n，n∈N*或an＝(－1)n－13n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为数列{an}是等差数列， 所以设数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d， 则a2n＝a1＋(2n－1)d， 所以a1－d＝0或d＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是 A.当n＝15时，Sn取最大值 B.当n＝30时，Sn＝0 C.当d>0时，a10＋a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| √ 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.2 B.3 C.4 D.14 √ 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于 为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3,5,15， 因此，正整数n的可能取值有2,4,14. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若an＝(－1)n·(2n－1)，则数列{an}的前21项和S21＝_______. S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…－41＝2×10－41＝－21. 17 18 19 20 21 22 －21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为______. 17 18 19 20 21 22 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63， ∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72， 设等差数列{an}的公差为d， 17 18 19 20 21 22 又am＝a1＋d(m－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝_______；a1a2·…·an的最大值为_______. 17 18 19 20 21 22 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值， 即f(n)min＝－6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a1＋a2 022＝a2＋a2 021＝a3＋a2 020＝…＝1. 设此数列前2 022项的和为S2 022，则有S2 022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022，S2 022＝a2 022＋a2 021＋a2 020＋…＋a1， 所以2S2 022＝1×2 022，即S2 022＝1 011. 17 18 19 20 21 22 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. 17 18 19 20 21 22 (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，解得d＝－2， 17 18 19 20 21 22 18.(12分)已知等差数列{an}中，a5－a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d，因为a5－a2＝6，所以3d＝6，解得d＝2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以 ＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5，所以an＝2n＋3. 17 18 19 20 21 22 得n＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； 由于数列{an}是公比大于1的等比数列， 设首项为a1，公比为q， 所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128， 所以b1对应的区间为(0,1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]， 则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]， 则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2； b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5； b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6. 所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 17 18 19 20 21 22 20.(12分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1). (1)证明：数列{an}为等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为Sn＝1＋kan， ① Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)， ② 由①－②，得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， 由已知可得当an＝0时，Sn＝1无意义，所以an≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.(12分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成一等差数列， 17 18 19 20 21 22 所以f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196] ＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，n∈N*， 所以当n＝10时，f(n)max＝204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设n年后平均盈利为g(n)万元， 17 18 19 20 21 22 故当n＝7时，g(n)max＝g(7)＝24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 22.(12分)在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0). (1)求m及a53； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a31＝a11＋(3－1)×m＝2m＋2， a32＝a31×m＝(2m＋2)×m＝2m2＋2m， a41＝a11＋(4－1)×m＝3m＋2， 17 18 19 20 21 22 即m2－2m＝0. 又m>0，∴m＝2， ∴a51＝a11＋4×2＝10， ∴a53＝a51×22＝40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得an1＝a11＋(n－1)×2＝2n. 当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n. (*) 又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8. a11＝2，a22＝8符合(*)式， ∴ann＝n·2n. ∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann， ∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n， ① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ② 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①－②得， 17 18 19 20 21 22 ＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2. 已知数列1，，，，…，，则该数列的通项公式为an＝，若＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23，则3是这个数列的第23项. 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第 由弦长公式得a1＝2＝8， 所以d＝＝. A. B. C. D. ＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10) ＝(a2＋a6＋a10)＝10×＝75. 由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2， 所以＝＝， 所以Tn＝＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N*恒成立， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 10.在等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数可能为 A.1 B.－ C. D.－1 所以＝， 因为是一个与n无关的常数， 所以可能为1或. 因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d. 所以Sn＝－dn＋d＝n2－15nd＝[(n－15)2－225]. 对于选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确； 对于选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确； 对于选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d ＋d＝d，因为d<0，所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故 D错误. 12.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为 由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋， 则S奇－S偶＝＝72－63＝9. ∴＝9， ∵＝135，∴m＝15， ∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101. n－4 由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得 解得 ∴an＝8×n－1＝n－4. ∴a1a2·…·an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4) 令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)＝2－， ∴a1a2·…·an的最大值为－6＝64. 16.已知函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f ，则数列{an}的前2 022项和为________. 依题意，函数f(x)＝，f(1－x)＝＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝1，因为数列{an}满足an＝f ， 所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n. a 由＝， (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值. 由(1)知bn＝＝， 所以bn＝， 所以Sn＝ ＝， 依题意有 解得或(舍)， 所以an＝an－1. 当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，所以a1＝. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列. 因为a1＝，q＝， 所以an＝·n－1＝－. (3)当k＝－1时，求a＋a＋…＋a. 因为在数列{an}中，a1＝， 公比q＝， 所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列. 当k＝－1时，等比数列{a}的首项为，公比为， 所以a＋a＋…＋a＝＝×. 前n年成本之和为万元， 则g(n)＝＝－4n－＋80，n∈N*， 因为g(n)＝－4＋80， 当n∈N*时，n＋≥2＝14， 当且仅当n＝，即n＝7时取等号， 已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m. ∵a41＝a32＋2，∴3m＋2＝(2m2＋2m)＋2， －Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1 $$