5.1.1 变化率问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

5.1.1　变化率问题 第五章　§5.1　导数的概念及其意义 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想. 学习目标 导语 同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题. 一、平均速度 二、瞬时速度 课时对点练 三、抛物线的切线的斜率 随堂演练 内容索引 平均速度 一 问题1　在一次跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.2,1≤t≤1.5，0≤t≤ 内的平均速度吗？ 虽然运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 例1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈ 8 9 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 10 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)， (2)再计算时间的改变量t2－t1， 反思感悟 11 跟踪训练1　一质点按运动方程s(t)＝ 作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为 A.－1 B.－ C.－2 D.2 √ 12 瞬时速度 二 问题2　我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示　由 可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了.我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均则平均速度可记为 ，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. 1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则 物体在t0时刻的瞬时速度为 . 注意点：Δt可正，可负，但不能为0. 某一时刻 知识梳理 16 例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 17 延伸探究　 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 即物体的初速度为1 m/s. 18 2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 19 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). 反思感悟 20 跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 又质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s， 即a＝2. 21 抛物线的切线的斜率 三 问题3　在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？ 提示　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率. 知识梳理 24 例3　求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程. 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. 25 延伸探究　本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程. 故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0. 26 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤 (2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标. 反思感悟 27 跟踪训练3　求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程. f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2， 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 28 1.知识清单： (1)平均速度. (2)瞬时速度. (3)曲线在某点处的切线方程. 2.方法归纳：无限趋近法、定义法. 3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为 A.2 B.3 C.－2 D.－3 √ 1 2 3 4 2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 3.物体自由落体的运动方程为s(t)＝ gt2，g＝9.8 m/s2.若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是 A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度 B.9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度 C.9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度 √ 当Δt趋近于0时，平均速度趋于该时刻的瞬时速度. 1 2 3 4 4.抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为_____. 2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则 的值为 A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29 √ 令y＝f(x)＝3x－x2. ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 A.2 B.1 C.－1 D.6 √ 由已知，得 ＝26，即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设 >0 (x1>x0≥0)恒成立，且 ，则说明后10天与 前10天比 A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为 A.4 B.16 C.8 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则 A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是_____. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝_____. 解得x0＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2. 所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率 ∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2， y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； ∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)倾斜角为135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为 则三者的大小关系为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1 √ 解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1. 13.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋ (t的单位是s，s的单位是m)，则它在4 s末的瞬时速度为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)，则其在t＝____的水流瞬时速度为11 m3/s. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为 则m的值为______. 所以m2＋m＋1＝7， 所以m＝2或m＝－3(舍). 2 16.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s. (2)物体的初速度v0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度. (3)物体在t＝1时的瞬时速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　当0≤t≤0.2时，＝＝1.82(m/s)； 当1≤t≤1.5时，＝＝－9.45(m/s)； 当0≤t≤时，＝＝0(m/s)； . (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度； 物体在区间上的平均速度为 1＝＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为 2＝＝＝. 由(1)可知1－2＝>0，所以2<1. 作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. (3)得平均速度＝. ＝＝－1＝－. ＝ ＝＝ ∵＝＝＝3＋Δt， ∴＝(3＋Δt)＝3. ∵＝＝＝1＋Δt， ∴ (1＋Δt)＝1. 又＝＝(2t0＋1)＋Δt. ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝. ＝＝＝4a＋aΔt， ∴＝4a＝8， 由＝＝Δx， 可得切线的斜率为k＝Δx＝0. 设切点(x0，x－2x0＋3)， 故＝ ＝2x0－2＋Δx， 所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2， 所以切线的斜率k＝＝＝ (3＋Δx)＝3. ＝＝－3. ＝(Δt＋6)＝6. k＝＝(Δx＋2)＝2. Δs＝－(2＋1)＝－. 1.已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于 A. B.－ C.1 D.－1 ∴＝＝－1.1. ＝10，＝1 由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加， 又平均变化率＝10>＝1，说明盈利增加的幅度变小. k＝ ＝8. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确； 物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确； 物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确. ＝(3－Δt)＝3. k＝ ＝ (4Δx＋8x0)＝8x0＝8， ＝＝14(m/s). ＝2＋6t＋3·Δt， ＝2＋6t， 当t＝4时， ＝2＋6×4＝26， 为k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0， ∴2x0×＝－1， 得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点. 因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点. 1，2，3， A.1>2>3 B.3>2>1 C.2>1>3 D.2>3>1 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC， 则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝ ＝kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3> 2>1. 由题意可知k＝ ＝1， ∵＝＝Δt＋8－， ∴ ＝8－＝. A. m/s B. m/s C.8 m/s D. m/s ＝＝2t＋Δt＋7， 当 (2t＋Δt＋7)＝11时，解得t＝2. 体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)， 所以＝＝， ， s＝f(t)＝ ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24， ∵＝＝＝3Δt－18， ∴物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s). ∵＝＝3Δt－12， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为 (3Δt－12)＝－12 (m/s). $$