4.4 数学归纳法 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

§4.4* 数学归纳法 第四章　数　列 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 学习目标 导语 同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，今天我们就一起解决这些特定目标的心理障碍吧. 一、数学归纳法的理解 二、增加的项的个数问题 课时对点练 三、用数学归纳法证明等式 随堂演练 内容索引 数学归纳法的理解 一 问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 (k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择. n＝k n＝k＋1 n0 n＝n0(n0∈N*) 知识梳理 8 例1　(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于_____. 由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6. 6 9 (2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n ＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1 时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明，错误是______________. 未用归纳假设 本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符. 10 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 反思感悟 11 12 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 √ 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法. 13 增加的项的个数问题 二 √ 15 假设n＝k(k∈N*)时不等式成立， 则当n＝k＋1时， ∴从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了 16 弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项. 反思感悟 17 跟踪训练2　利用数学归纳法证明不等式 (n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了 A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项 √ 18 用数学归纳法证明等式 三 20 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 那么当n＝k＋1时， 21 上式表明当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对一切n∈N*均成立. 22 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即 (1)当n＝n0时，等式的结构. (2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项. ②代数式相邻两项之间的变化规律. ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 反思感悟 23 跟踪训练3　设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ －nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)求a2，a3，a4； 24 (2)猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 25 由此猜想{an}的一个通项公式， an＝n＋1(n≥1，n∈N*)， 下面用数学归纳法证明如下， ①当n＝1时，a1＝2＝1＋1，等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即ak＝k＋1， 也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1＝(k＋1)＋1也成立， 根据①②对于所有n∈N*都有an＝n＋1. 26 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念. (2)增加或减少项的个数问题. (3)用数学归纳法证明等式. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区： (1)对n0取值的问题易出错. (2)增加或减少的项数易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证当n＝1时，左边应取的项是 A.1 B.1＋2 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 √ 当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3·…·(2n－1) (n∈N*)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为 A.2k＋1 B.2(2k＋1) √ 1 2 3 4 当n＝k时，左边为(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k， 当n＝k＋1时，左边为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)， 因为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2) ＝[(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k]·2(2k＋1)， 所以从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为2(2k＋1). 1 2 3 4 3.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得 A.当n＝4时命题不成立 B.当n＝6时命题不成立 C.当n＝4时命题成立 D.当n＝6时命题成立 √ 因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立. 1 2 3 4 4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为 ____________________________________________________. 当n＝k＋1时， 表达式左边为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)， 表达式右边为(k＋1)(k＋2)2， 则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步应验证n等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 边数最少的凸n边形是三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真， 则还需要用归纳假设再证 A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2(k＋2)时等式成立 √ 因为n为正偶数， 所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到 A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2 B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2 C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2 D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2 √ 由数学归纳法知第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分.现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为 A.2k B.2k＋2 C. D.k2＋k＋2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝3时，这三个平面将空间分成了8部分， 当n＝k时，平面将空间分成f(k)个部分，则当再添加1个面时，与其他k个面共有k条交线，这k条交线过同一个点，将该平面分成2k个部分， 每一部分将所在的空间一分为二，故f(k＋1)＝f(k)＋2k，即增加的空间个数为2k. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立.现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有 A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数 都成立 D.以上说法都不正确 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立. 在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 注意末项与首项， ___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立.因此对于任意n∈N*等式都成立. 以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为___________________. 缺少步骤归纳奠基 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时， 那么当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1) ×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上 A.(k＋1)2 B.k2＋1 C. D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为当n＝k时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋(k＋1)2， 所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是 A.p(k)对k＝528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 √ 由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____. 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设当n＝k(k∈N*)时命题为真后，需证n＝______时命题也为真. 因为n为正奇数，所以n＝k＋2时命题也为真. k＋2 16.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时， 左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边. (2)假设当n＝k时(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2>k2. 那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2. 又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立. 根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立. 跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜ ＝＝(k＋1)＋1， 例2　用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝ k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了 A. B.＋－ C. D.＋＋ ＋＋－＝＋－. 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中， 左边＝＋＋…＋， 左边＝＋…＋＋＋＋， 1＋＋＋…＋<n 增加项为＋＋＋…＋，共2k项. 例3　用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*). 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立. 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， ＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋. 由a1＝2得a2＝a－a1＋1＝3， a3＝a－2a2＋1＝4， a4＝a－3a3＋1＝5. a 那么ak＋1＝a－kak＋1＝(k＋1)2－k(k＋1)＋1＝k＋2＝(k＋1)＋1， C. D. 1－＋－＋…＋－＝ 2 5.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞(n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为 A.增加 B.增加＋ C.增加＋，减少 D.增加，减少 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 7.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝ ＋＋ 9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*). (1)当n＝1时，左边＝， 右边＝1－＝，等式成立. 等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－， 左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.  f(n)中共有n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋. 13.已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则 A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B.f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ C.f(n)中共有(n2－n＋2)项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ D.f(n)中共有(n2－n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ $$