4.3.2.3 数列的综合应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第3课时 数列的综合应用 第四章　4.3.2　等比数列的前n项和公式 1.能够把实际问题转化成数列问题. 2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决综合问题的过程. 学习目标 导语 现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起开始今天的学习吧！ 一、数列中的构造问题 二、数列在实际问题中的应用 课时对点练 三、数列在平面几何中的应用 随堂演练 内容索引 数列中的构造问题 一 例1　已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝ an＋1(n∈N*)，正项等比数列{bn}中，b1＝1且2bn＋2＝bn＋1＋3bn(n∈N*).求数列{an}，{bn}的通项公式. 6 又a1＝1，即a1－2＝－1≠0， 所以an－2≠0， 7 设等比数列{bn}的公比为q， 由2bn＋2＝bn＋1＋3bn，得2q2＝q＋3， 因为bn>0， 8 给出数列的方式有多种，以递推公式的形式给出是很常见的情况，通常是转化为等差或等比数列求出通项.常用方法为待定系数法、倒数法等方法. 反思感悟 9 跟踪训练1　(1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝ .则数列{an}的通 项公式为an＝_____. 10 11 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋1＝2an＋1，且a1＋2a2＝a3.求数列{an}的通项公式. 12 an＋1＝2an＋1， 即an＋1＋1＝2an＋2， 因为a1＋2a2＝a3， a3＝2a2＋1， 所以a1＝1，a1＋1＝2， 则数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2n，an＝2n－1. 13 数列在实际问题中的应用 二 例2　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(精确到0.1，参考数据：1.00812≈1.10) 15 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则： A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …， A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 故小华每期付款金额约为883.5元. 16 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 注意： ①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答. ②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确. ③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系. ④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求. 反思感悟 17 跟踪训练2　某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年 增加 .(参考数据：lg 6≈0.778， ≈0.097). (1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)； 18 设第n年的旅游业收入估计为an万元， 则a1＝400， 19 20 (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元. ∴大约从第9年开始，旅游业的总收入超过8 000万元. 21 数列在平面几何中的应用 三 例3　如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，前n个内切圆的面积和 为____________. 23 设第n个正三角形的内切圆的半径为an， 24 设前n个内切圆的面积和为Sn， 25 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性. 反思感悟 26 跟踪训练3　毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为1,5,12,22，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为________，若这些数构成数列{an}， 51 305 27 根据题意，记第n个图形 的圆点数为an，由题意知 a1＝1，a2－a1＝4＝1＋3 ×1，a3－a2＝1＋3×2， a4－a3＝1＋3×3，…，an－an－1＝1＋3(n－1)，累加得an－a1＝4＋7＋…＋ 28 1.知识清单： (1)数列中的构造问题. (2)数列在实际问题中的应用. (3)数列在平面几何中的应用. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：在实际问题中首项和项数弄错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an等于 A.2 192 B.3 912－8n C.3 920－8n D.3 928－8n √ 1 2 3 4 由题意可知，每月还本金为2 000元，设张华第n个月的还款金额为an元， 则an＝2 000＋[480 000－(n－1)×2 000]×0.4%＝3 928－8n. 1 2 3 4 2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米…所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为 √ 1 2 3 4 由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}， 3.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________才可以驾驶机动车(精确到小时) A.1小时 B.2小时 C.4小时 D.6小时 √ 设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等 比数列，公比为50%，进而可得方程0.3(1－50%)n≤0.02，得 即n≥4，所以至少要经过4小时才可以驾驶机动车. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn ＝________. 1 2 3 4 最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5； 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量 A.a(1＋25%)5 B.a(1＋25%)4 √ 森林中原有木材量为a，一年后为a(1＋25%)，两年后为a(1＋25%)2，…，五年后为a(1＋25%)5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…，则式子3⊗5是第 A.22项 B.23项 C.24项 D.25项 √ 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，故3⊗5是第24项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则S10等于 A.211－12 B.211－10 C.210－12 D.210－8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在数列{an}中，由an＋1＝2an＋1， 得an＋1＋1＝2(an＋1). ∵a1＝1，∴a1＋1＝2≠0， ∴ ＝2，则数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n， 4.一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○● ○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 A.12 B.13 C.14 D.15 √ 从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1，则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝ ，而a14＝119<120，所以前120个圈中的●个数为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为 A.16 B.28 C.32 D.64 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知数列{an}是等比数列，则 A.数列{|an|}是等比数列 B.数列{anan＋1}是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形…如此继续.若共得到1 023个正方形，设初始正 方形的边长为 ，则最小正方形的边长为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2017年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资收入为7 800元，其他收入为5 350元).预计该地区自2018年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2023年该地区农民人均收入约为_______元.(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42) 17 386 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 农民人均收入来源于两部分， 一是工资收入为7 800×(1＋6%)6＝7 800×1.066≈11 076(元), 二是其他收入为5 350＋6×160＝6 310(元)， 因此，2023年该地区农民人均收入为11 076＋6 310＝17 386(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数. 2 ……第1行 4　　 6　　　　　　　……第2行 8　 10　　12　　　　　 ……第3行 14　　16　　18　　20　 　　 ……第4行 …　… (1)求第5行的第2个数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记an＝2n，由数阵可知， 第5行的第2个数为a12. 因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)问数32在第几行第几个； 因为an＝32，所以n＝16. 由数阵可知，32在第6行第1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由数阵可知a1，1＝2，a2，2＝6，a3，3＝12，a4，4＝20，a5，5＝30，a6，6＝42. 10.记Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an＋n. (1)证明数列{an－1}是等比数列，并求出通项公式an； 由Sn＝2an＋n，当n＝1时，S1＝2a1＋1，得a1＝－1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1). 作差可得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1＋1， 所以an＝2an－1－1， 即an－1＝2(an－1－1). 数列{an－1}是以a1－1＝－2为首项，以2为公比的等比数列， 所以an－1＝－2×2n－1＝－2n，故an＝1－2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知nan＝n(1－2n)＝n－n·2n， 设S为数列{n·2n}的前n项和， 则S＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n， ① 所以2S＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， ② ①－②得，－S＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－2＋2n＋1－n×2n＋1 ＝－2－(n－1)×2n＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以S＝2＋(n－1)×2n＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1 000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为 A.20%,14 580元 B.10%,14 580元 C.20%,10 800元 D.10%,10 800元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1， 故a1(1－q)3＝14 580. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利 A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝ (2n＋6)千万元， ∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)＜0，故当n<4时，f(n)单调递减； 当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＞0， 故当n≥4时，f(n)单调递增. ∴该项目将从第8年开始并持续赢利. 该项目将从2023年开始并持续赢利. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有 ＝k(k为常数)， 则称{an}为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题，其中正确的是 A.等差比数列的公差比一定不为0 B.等差数列一定是等差比数列 C.若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，若公差比为0，则an＋2－an＋1＝0，故{an}为常数列，从而 ＝k的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零； 对于B，当等差数列为常数列时，不能满足题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，正△ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正△BDE；取DE边的中点G，作正△DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG…，则前20个正三角形的 面积和为_________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第n个三角形边长为a cm，则第n＋1个三角形边长为 cm，设第n个三角形面积为an cm2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)如图(1)，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝ AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图(2)中的图形；对图(2)中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图(3)中的图形，依次类推，我们就得到了一系列图形. 71 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记第n个图形(图(1)为第1个图形)中的所有线段长度的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题，其中正确的是 A.数列{Sn}是等比数列 B.数列{Sn}是递增数列 C.存在最小的正数a，使得 对任意的正整数n，都有 Sn>2 023 D.存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 023 √ √ 72 由题意，得题图(1)中 的线段为a，S1＝a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即A错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2019年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 . (1)设n年内(2019年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0， 故至少到2023年旅游业的总收入才能超过总投入. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即an＝2－n－1， 由an＋1＝an＋1， 得an＋1－2＝(an－2)， 从而＝， 所以数列{an－2}是等比数列，首项为－1，公比为，则an－2＝－n－1， 解得q＝－1或q＝， 所以q>0，从而q＝，又b1＝1， 所以bn＝n－1. 因为an＋1＝， 所以＝＝＋1， 即－＝1， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝n，an＝. ＝2， 解得x＝＝≈883.5. lg a2＝a1＝a1， a3＝a2＝a2，…， an＋1＝an＝an ， ∴＝， 即数列{an}是首项为400，公比为的等比数列， ∴Sn＝＝＝1 600×， 即前n年旅游业的总收入为1 600×万元. 由(1)知Sn＝1 600×， 令Sn>8 000，即1 600×>8 000， ∴n>6，即lgn>lg 6， ∴n>≈8， π ∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的， 每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， ∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1， ∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列， ∴an＝×n－1a， 则Sn＝π(a＋a＋…＋a) ＝πa ＝πa ＝×π＝π ＝π. 则a1＋＋＋…＋＝________. 即an＝(3n－1)，所以a6＝51，又＝，所以a1＋＋＋…＋＝×(2＋5＋8＋…＋59)＝××20＝305. [1＋3(n－1)]＝(3n－1)－1， A.米 B.米 C.米 D.米 且a1＝100，q＝，an＝10－2； ∴乌龟爬行的总距离为Sn＝＝＝(米). n≤， 9－ 倒数第2个正方体的棱长为1×＝， 它的侧面积为4×2＝4×1， 倒数第3个正方体的棱长为×＝2， 它的侧面积为4×2×2＝4×2； … 则它们的表面积为Sn＝5＋4× ＝5＋4×＝9－＝9－. 倒数第n个正方体的棱长为n－1， 它的侧面积为4×2(n－1)＝4×n－1， C.4a D.a(1＋25%)6 ∴an＝2n－1，∴S10＝－10＝211－12. 可得＝14且＝126， 所以＝1＋q3＝＝9， C.数列{lg a}是等比数列 D.数列是等比数列 根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则＝q(n∈N*)， 对于选项A，对于数列{|an|}，有＝|q|(n∈N*)，因此数列{|an|}是等比数列，即选项A正确； 对于选项B，对于数列{anan＋1}，有＝q2(n∈N*)，因此数列{anan＋1}为等比数列，即选项B正确； 对于选项C，对于数列{lg a}，若an＝1，则数列{an}是等比数列，但数列{lg a}不是等比数列，故选项C错误； 对于选项D，对于数列，有＝＝，故数列为等比数列，因此选项D正确. 由题意得1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10. 正方形的边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝，即所求最小正方形的边长为. (3)记第i行的第j个数为ai，j(如a3，2表示第3行第2个数，即a3，2＝10)，求＋＋＋＋＋的值. 所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…－＝. ＝－n×2n＋1 又数列{n}的前n项和为， 所以Tn＝－2－(n－1)×2n＋1＝－(n－1)×2n＋1. 则 解得 第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为＋×1＋×2＋…＋×n－1＝＝千万元， ∴f(n)＝n－1－(2n＋6)＝千万元. ∵f(n＋1)－f(n)＝－＝×， 又f(1)＝－＜0，f(7)＝7－21≈17－21＝－4＜0，f(8)＝8－23≈25－23＝2＞0. 对于C，若an＝－3n＋2，则＝＝3是公差比为3的等差比数列； 对于D，an＝a1qn－1代入＝q，命题正确，所以正确命题为A，C，D. cm2 则an＝a2 cm2，an＋1＝·2＝a2 cm2， ∵＝，a1＝S△ABC＝×202＝100 cm2， 所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝，首项a1＝100，所以前20个正三角形的面积和为S20＝＝cm2. 题图(2)中的正六边形 的边长为，S2＝S1＋×4＝S1＋2a； 题图(3)中的最小正六边形的边长为，S3＝S2＋×4＝S2＋a； 题图(4)中的最小正六边形的边长为，S4＝S3＋×4＝S3＋；依次类 推，Sn－Sn－1＝， 因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋＝a＋4a<5a，即存在最大的正数a＝，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 023，即D正确，C错误. 2019年收入为500万元，第2年收入为500×万元， 第n年收入为500×n－1万元. 2019年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元， 所以n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×n－1 ＝＝5 000×， 所以n年内的总收入为Tn＝500＋500×＋…＋500×n－1 ＝＝2 000×. 即2 000×－5 000×>0， 化简得5×n＋2×n－7>0， 设x＝n，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得x<或x>1(舍去). 即n<，由此得n≥5. $$