4.3.2.2 等比数列前n项和的性质及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第2课时 等比数列前n项和 的性质及应用 第四章　4.3.2　等比数列的前n项和公式 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 导语 同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步增长同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 一、等比数列前n项和公式的性质 二、等比数列前n项和公式的实际应用 课时对点练 三、等比数列前n项和公式的综合应用 随堂演练 内容索引 等比数列前n项和公式的性质 一 问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有 ＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 1.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 知识梳理 11 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N*). 3.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， 仍构成等比数列. 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. qnSm S3n－S2n 知识梳理 12 例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____. 2 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， 13 (2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为______. 2 9 由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝ ＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. 14 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 15 方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， ② ① 16 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn， 17 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点； 若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 反思感悟 18 跟踪训练1　(1)已知等比数列{an}的公比q＝ ，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝______. 120 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋… ＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋ (a1＋a3＋a5＋…＋a99) ＝90＋ ×90＝120. 19 (2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于 A.12 B.18 C.21 D.27 方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21. 方法二　由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，S12－S8＝12，所以S12＝S8＋12＝9＋12＝21. √ 20 等比数列前n项和公式的实际应用 二 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 √ 22 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以 为公比的等比数列， 解得a1＝192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 23 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 反思感悟 24 跟踪训练2　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂_____盏灯笼. 3 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，于是得S9＝ ＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 25 等比数列前n项和公式的综合应用 三 例4　螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可 以得到阴影部分的图案.如图(2)阴影部分， 设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角 形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的 面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n 项和Sn＝____________. 27 设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an， …， 28 29 解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题. (2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 反思感悟 30 跟踪训练3　如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 023. 31 记第n个正方形的边长为bn， 32 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的性质. (2)等比数列前n项和公式的实际应用. (3)等比数列前n项和公式的综合应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法. 3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于 √ 1 2 3 4 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于 A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 √ 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等比数列， 因为S10∶S5＝1∶2， 3.我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn> 成立的正整数n的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3 项之积为64，则数列的通项公式an＝___________________. 设数列的首项为a1，公比为q，奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，因为数列{an}的项数为偶 数，所以有q＝ 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以 ·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12× ，n∈N*. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 B.－2 C.4 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶， 所以通项公式为an＝2n－1， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24， 解得n＝4，所以项数为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知q≠－1， 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列， 所以8(S9－S6)＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q(q>0，q≠1)， ∵a3，a5，－a4成等差数列，∴2a1q4＝a1q2－a1q3， ∵a1≠0，q≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列说法正确的是 A.若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N*)，则m＋n ＝s＋t B.若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列 C.若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D.若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数， n∈N*)，则A＋B为零 √ √ 若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am＋an＝as＋at，A错误； 设等差数列{an}的公差为d，首项是a1， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd) ＝Sn＋n2d， 同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d ＝Sn＋2n2d， 因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若等比数列{an}的公比q＝－1，a1＝2， 则S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不可能成等比数列，C错误； 等比数列的前n项和为Sn＝Aqn＋B，则q≠1， 否则Sn＝na1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____. 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 6 由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102. 由于26＝64,27＝128， 则n＋1≥7，即n≥6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则 公比q＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0， 得210(S30－S20)＝S20－S10. 易知q≠－1， ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意知S6≠2S3，q≠1，且q≠－1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， ∴an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)知bn＝2n－1＋n－1， ∴Tn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某地区为完成国家退耕还林计划，截止到2019年年底还需要退耕还林的土地面积为6 370万亩，2020年该地区退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增. (1)试问到哪一年该地区才能完成退耕还林计划？(结果精确到1年)(参考数据：1.128≈2.476，1.127≈2.211) 设从2021年起，每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，…， 即515×1.12× (1.12n－1)＝5 855×0.12，解得1.12n≈2.218. 又因为n∈N*，当n＝7时，1.127≈2.211， 此时完不成退耕还林计划，当n＝8时，1.128≈2.476>2.218，所以n＝8.故到2028年该地区才能完成退耕还林计划. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)为支持退耕还林工作，国家财政从2021年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元.试问：该地区完成退耕还林计划时，国家财政共需补助多少亿元？(精确到1亿元) 设国家财政共需补助W亿元， 则W＝(300×0.7＋20)×(6 370－515)×10－4≈135， 所以该地区完成退耕还林计划时，国家财政共需补助135亿元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S4＝10，S12＝70，则S8等于 A.30 B.－20 C.－30 D.30或－20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是等比数列，且S4＝10，S12＝70，知{an}的公比q≠－1， 所以S4，S8－S4，S12－S8构成等比数列， 所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)， 即(S8－10)2＝10(70－S8)， 化简并整理得 －10S8－600＝0， 又S8＝S4＋q4S4>0， 解得S8＝30或S8＝－20(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是 A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 √ √ √ ∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q为整数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； an＝2×2n－1＝2n，∴lg an＝lg 2n＝nlg 2， 故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Tn＝a1·a2·…·an 故当n＝1或2时，Tn取最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为______. 由q≠－1及等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列. 又S6－3S3＝4， 32 当且仅当S3＝2时，等号成立， ∴S9－S6的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ ，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，由Sn＝n－5an－85可知， a1＝－14； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1， 即6an＝5an－1＋1. 因此6an－6＝5an－1＋1－6＝5(an－1－1)， 所以an－1＝ (an－1－1). 又a1－1＝－15≠0， 所以数列{an－1}是等比数列. (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理 由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解不等式Sn<Sn＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减. 故当n＝15时，Sn取得最小值. 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而2＝2， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有2＝Sn(S3n－S2n)， (1)在其前2n项中，＝q. (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝ ＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶. ∴q＝＝2. 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，　　　　　　　　　 ③ 将③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64×＝63. ∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q， 因为该人6天后到达目的地，则有S6＝＝378， 4－4×n 则a1＝4，a2＝＝a1， a3＝＝a2＝2a1， an＝＝an－1⇒＝， 于是数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列， 则an＝4×n－1. 由题意可得，S△AHE＝， 即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝×n－1， 所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列， Sn＝×＝4×＝4－4×n. 由题意可知b＝2×2＝b， 则an＝an－1， 所以数列{an}是以a1＝4为首项，以q＝为公比的等比数列， 即an＝4×n－1＝23－n. S2 023＝＝8×＝8－. 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝. A.2n－1 B. C.  D. 所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4. 数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－， 若Sn>，则1－>，即>， ∴2n>，又n∈N*，24＝16<，25＝32>， ∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5. 12×n－1，n∈N* a n－1 ＝. 由＝q，可知q＝2. 则q＝＝2，又它的首项为1， A. B.－ C. D. 即S9－S6＝， 所以a7＋a8＋a9＝. 4.等比数列{an}各项为正数，a3，a5，－a4成等差数列.若Sn为{an}的前n项和，则等于 A.2 B. C. D. ∴2q2＋q－1＝0.解得q＝或q＝－1(舍去). ∴＝1＋q3＝. A. B. C. D. 则＝50， 解得a1＝， 所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝. 所以Sn＝＝－·qn＋， 即A＝－，B＝，A＋B＝0，D正确. 其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2. ∴＝q10＝10. 又{an}为正项等比数列，∴q＝. q3＝＝＝8，故q＝2， ∴S3＝＝7，代入q可得a1＝1， ＝2n＋－1. 则a1＝515×，a2＝515×2，…，an＝515×n， 则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝6 370－515， S ∴ ∴或(舍)， 故A正确； Sn＝＝2n＋1－2， ∴S8＝510，故C正确； A. B. C.1 D.2 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，S奇＝a1＋qS偶， 即2＋q＝， 所以q＝. ＝aq1＋2＋…＋n－1＝ ∴S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32， 1－ 又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 由(1)知，an－1＝－15×n－1， 得an＝1－15×n－1， 从而Sn＝75×n－1＋n－90，n∈N*. 得n－1<，n> ＋1≈14.9， $$