4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时 等比数列的前n项和公式 第四章　4.3.2　等比数列的前n项和公式 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 学习目标 导语 在信息技术高速发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱. 一、等比数列前n项和公式 二、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 课时对点练 随堂演练 内容索引 等比数列前n项和公式 一 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝ ，而当q＝1时，Sn＝ na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S7＝2＋22＋23＋… ＋27＝ ＝28－2＝254. 所以当q≠1时，Sn＝ ，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定 义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化. 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时， ，显然方程的思想在本次推导 过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决. 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝ ＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一：Sn＝_______________ 公式二：Sn＝_______________ 知识梳理 11 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论. 知识梳理 12 例1　(1)在等比数列{an}中， ①a1＝2，q＝ ，求S10； 13 ②q＝ ，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值. 14 方法一　S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100 ＝2(a2＋a4＋…＋a100)＋a2＋a4＋…＋a100 ＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150， ∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50. 15 16 (2)在等比数列{an}中. ①S2＝30，S3＝155，求Sn； 17 ②a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5； 18 19 方法二　由a4＋a6＝(a1＋a3)q3， 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 20 ③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 因为a2an－1＝a1an＝128，且a1＋an＝66， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根. 21 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意：q＝1和q≠1的讨论) 反思感悟 22 跟踪训练1　(1)在14与 之间插入n个数，组成所有项的和为 的等比数列，求此数列的项数. 设此数列的公比为q(易知q≠1)， 故此数列共有5项. 23 (2)①若a2－a1＝1，a3－a1＝3，求等比数列{an}的前n项和Sn； 设等比数列{an}的公比为q，由已知， 24 ②已知S4＝1，S8＝17，求等比数列{an}的通项. 25 若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1， 解得q＝2或q＝－2. 26 27 利用等比数列前n项和公式判断等比数列 二 问题3　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？ 1.当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝ .即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数. 注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. Aqn－A na1 知识梳理 30 例2　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 31 方法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式. 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列. 32 延伸探究　 1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则 实数k＝____. ∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列， 33 2.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝ ＋5，则 实数a＝______. 34 (1)已知Sn，通过an＝ 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.需验证当n＝1时是否满足此式. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 反思感悟 35 跟踪训练2　若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是 A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对 √ 36 当n＝1时，a1＝S1＝t－1， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)， 当t＝1时，an＝0， 所以{an}是等差数列； 当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列； 当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1(t－1)， 所以{an}是等比数列. 37 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)等比数列前n项和公式的结构特点. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于 当x＝1时，Sn＝n； √ 1 2 3 4 2.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 ∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则an＝2×2n－1＝2n， ∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4. 1 2 3 4 3.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝______. 在等比数列{an}中，∵a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，∴a4－a3＝2S3＋1－(2S2＋1)＝2(S3－S2)＝2a3. 3 1 2 3 4 4.若各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝ ，a5＋a6＝ 12，则S4＝______. 1 2 3 4 设等比数列{an}的公比为q， 1 2 3 4 又a5＋a6＝12，即a1q4＋a1q5＝12， ② 1 2 3 4 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于 A.4－2100 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则 等于 A.10 B.9 C.－8 D.－5 √ 设数列{an}的公比为q， 由27a4＋a7＝0， 得a4(27＋q3)＝0， 因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为 A.16 B.32 C.8 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设等比数列{an}的公比为q， 所以a5＝a1q4＝1×24＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}为等比数列， 所以a2·an－1＝a1·an＝64. ① 又a1＋an＝34， ② 联立①②，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2. 解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝32，此时n＝5， 同理可得当a1＝32，an＝2时，也有n＝5， 则项数n等于5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q(q≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}_____等比数列.(填“是”或“不是”) 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)符合上式形式，此时A＝ 故数列{an}是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为Sn＝－Aqn＋A， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－Aqn＋A)－(－Aqn－1＋A)＝Aqn－1(1－q)， 当n＝1时，a1＝S1＝A(1－q)，也符合上式. 所以an＝Aqn－1(1－q). 所以数列{an}是等比数列，其首项为a1＝A(1－q)，公比为q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝_____，a1＝_____. 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}是等比数列. (1)若a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若a1＝－1，a4＝64，求q与S4； 得q＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)， ∴q－2＋q－1＋1＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即2q2－q－1＝0， ∴(2q＋1)(q－1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求数列{an}的公比q； 依题意有a1＋(a1＋a1q) ＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a1－a3＝3，求Sn. 故a1＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t(其中m，t为常数)，则 等于 A.4 B.－4 C.1 D.－1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　a1＝S1＝m＋t， a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m， 因为{an}为等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，则m的值是 A.6 B.7 C.8 D.不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q. 在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3， 故m＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7(n∈N*)，则f(n)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列， 设an＝2n＋7， 令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4， ∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝_______. 方法一　当n＝1时，则有2S1＝a2－1， ∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3； 当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得，2Sn－1＝an－1， 上述两式相减得2an＝an＋1－an， ∴an＋1＝3an， ∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵2Sn＝an＋1－1＝Sn＋1－Sn－1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是__________________. (－1,0)∪(0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}为等比数列，Sn>0， 所以a1＝S1>0，q≠0. 当q＝1时，Sn＝na1>0； 所以－1<q<1或q>1. 综上，q的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞). 16.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2). 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an＝a1·3n－1(n∈N*). (2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即a1＝－2. 根据等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q， Sn＝或Sn＝ (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数 . (3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项 . S10＝＝＝×＝. － 方法二　S100＝＝150， 整理得a1＝75， ∴a2＋a4＋…＋a100＝＝a1＝×75＝50. 由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. 方法一　由题意知 解得 从而S5＝＝. 得q3＝，从而q＝. 从而S5＝＝. 从而或 又Sn＝＝126，所以q＝2或. 则解得 得解得 ∴Sn＝＝2n－1. ∴S4＝＝1， S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4， 当q＝2时，a1＝； 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1. 提示　Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. ∴an＝ ∴3－2k＝0，即k＝. 由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. － a·n－1 当x≠1且x≠0时，Sn＝. A. B. C. D. ∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2， ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴a4＝3a3，∴q＝＝3. 方法一　由题意得 解得 ∴S4＝＝. 方法二　由题意知q>0，当q＝1时，S2＝2a1＝， ∴a1＝，∴a5＝a6＝，与a5＋a6＝12矛盾，不符合题意； 当q≠1时，S2＝＝， 即a1(1＋q)＝， ① 由①②可得 ∴S4＝＝. q＝＝. S100＝＝＝4×(1－2－100)＝4－2－98. 故＝＝10. 3.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于 A.或5 B.或5 C.  D. 由已知得＝，解得q＝2， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴其前5项和为＝. 则 解得或(舍去)， 当a1＝2，an＝32时，Sn＝＝＝62， 6.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则等于 A. B. C. D. ∵＝，∴q≠1且＝， ∴＝，∴q504＝9. ∴＝＝. 方法一　等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)， 所以Sn＝－ qn， ， 于是＝＝q， 因此对任意的n∈N*，都有＝q(常数). 得解得 S6＝＝＝189. (2)若a1＝－，q＝－，an＝，求Sn； Sn＝＝＝－. 由q3＝＝＝－64， ∴S4＝＝＝51. (4)若a3＝，S3＝，求a1与q. 当q＝－时，a1＝6. a3＝，S3＝， 即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. 当q＝1时，a1＝； 方法二　当q＝1时，a1＝a3＝， 又S3＝，∴S3＝3a1，符合题意. 当q≠1时，S3＝＝， ① a3＝a1q2＝， ② 由①得a1(1＋q＋q2)＝， ③ ③÷②得＝3， ∵q≠1，∴q＝－， ∴a1＝＝＝6， 综上，当q＝1时，a1＝； 当q＝－时，a1＝6. 又q≠0，从而q＝－. 由已知可得a1－a12＝3， 从而Sn＝＝×. 则a＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)， 即m＝－4t，故＝－4. 方法二　Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t， 因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4. 则q2＝＝4，则q＝±2. 当q＝2时，若Sm＝63，则有＝63，解得m＝6； 当q＝－2时，若Sm＝63，则有＝63，整理可得(－2)m＝－188，无整数解. A. B. C. D. 设该数列为，则am＝2m－1， ∴f(n)＝＝. 得＝3且＝3， ∴Sn＝＝. ∴Sn＋1＋＝3，S1＋＝a1＋＝， ∴数列是首项为，公比为3的等比数列， ∴Sn＋＝×3n－1＝×3n， ∴Sn＝×3n－＝. 当q≠1时，Sn＝>0，即>0， 所以或 于是，当n≥2时，有 因为Sn＝＝a1·3n－a1， 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， $$