4.3.1.2 等比数列的判定与性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第2课时 等比数列的判定与性质 第四章　4.3.1　等比数列的概念 1.掌握等比数列的判断及证明方法. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 学习目标 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比数列的判定与证明 二、等比数列中项与项之间的关系 课时对点练 三、由等比数列构造新等比数列 随堂演练 内容索引 等比数列的判定与证明 一 问题1　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. a1qn－1 q an－1an＋1 知识梳理 7 注意点： (1)证明{an}为等比数列常用定义法. 知识梳理 8 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (an－1)(n∈N*). (1)求a1，a2； 9 (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， 10 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足 ＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或 ＝q (n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法：若 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列. 反思感悟 11 12 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 13 等比数列中项与项之间的关系 二 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得 ＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1， 所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝ qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝ qk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 1.等比数列通项公式的推广和变形an＝ . 2.设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 . (2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列. amqn－m ak·al＝am·an am，ap，an 知识梳理 17 注意点： (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. 知识梳理 18 例2　(1)在等比数列{an}中： ①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求n； 设等比数列{an}的公比为q. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 所以n－8＝1，所以n＝9. 19 ②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. 20 (2)已知{an}为等比数列. 在等比数列{an}中， 21 ②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； 由等比中项，化简条件得 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7. 22 ③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 23 (3)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 24 所以a3＝216. 所以a＝6. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12， 故所求的四个数为9,6,4,2. 25 方法二　设后三个数为4－d，4,4＋d， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求的四个数为9,6,4,2. 26 (1)应用等比数列的性质可以简化运算，当性质不能应用时，可以通过基本量法求解. (2)等比数列中的设元技巧：当三个数成等比数列时，可设为 ，a，aq；当四个正数(负数)成等比数列时，可设为 aq，aq3. 反思感悟 27 跟踪训练2　(1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝ 则a7等于 A.4 B.8 C.16 D.32 设数列{an}的公比为q， 则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3， 因为a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21， 所以a1＝1，则a7＝a1q6＝8. √ 28 √ 29 因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根， 所以a1a13＝9，a1＋a13＝13， 所以a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列， 则a7＝a1q6>0， 所以a7＝3或a7＝－3(舍去)， 30 (3)已知有四个数成等比数列，且将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，则这四个数的和是_____. 45 31 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 32 由等比数列构造新等比数列 三 问题4　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示　   等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列 符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q为公比的等比数列 性质 等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m …是公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公比为qm的等比数列 等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 1.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列. 2.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)， 都是等比数 列，且公比分别是 . 3.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与 也都是等比数列，公比分别为 和 . pq 知识梳理 37 注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中是否有为0的项，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列. 知识梳理 38 例3　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是 取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. √ 39 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况. 反思感悟 40 跟踪训练3　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比 相同 √ 41 因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2, 3，…，n，…)， 则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义， 42 1.知识清单： (1)等比数列的判定与证明. (2)等比数列中项与项之间的关系及应用. (3)由等比数列构造新的等比数列. 2.方法归纳：公式法、类比法、定义法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项. 课堂小结 43 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 设正项等比数列{an}的公比为q， 由 ＝9a1·a9， 得(a1q5)2＝9a1·a1q8， 即q2＝9， 而q>0，解得q＝3， 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， 1 2 3 4 1 2 3 4 4.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数为_____________ _______________. 3,6,12,18或 1 2 3 4 当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18； 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足 ＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为 A.an＝2n B.an＝2n－1 C.an＝n D.无法确定 √ 由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2， 所以an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为 A.10 B.16 C.±4 D.4 √ 所以a50＝±4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是 A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，A项中，a3＝a1·q2，a1·a9＝ (a3)2≠a1·a9，故A项说法错误； B项中，(a3)2＝(a1·q2)2≠a2·a6＝ ，故B项说法错误； C项中，(a4)2＝(a1·q3)2≠a2·a8＝ ，故C项说法错误； D项中，(a6)2＝(a1·q5)2＝a3·a9＝ ，故D项说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若正项数列{an}满足a1＝2， ，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0. 又{an}是正项数列， 由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an＝2×4n－1＝22n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2> 的最大正整数n的值为_____. 4 ∴n的最大值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20， ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. 综上可得，a11＝64或a11＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于 A.±2 B.±4 C.2 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵T13＝4T9， ∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9， ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15， ∴(a8·a15)2＝4， ∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列， ∴q>0，∴a8a15＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，则 A.S11＝11π C.a3＋a7＋a8＝3π D.b3＋b7≥4 √ √ √ 因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝ ＝8，即 b5＝2. 对于A，S11＝ ＝11a6＝11π，故A正确； 对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝ ＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数. (1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. (2)试判断{bn}是否为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵bn＝(－1)n(an－3n＋21)， ∴bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21] ∵b1＝－(λ＋18)， ∴当λ＝－18时，b1＝0， 此时数列{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，当λ＝－18时，{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，{bn}是等比数列. 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝ (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝ (n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝ ＝·qn＝A·qn(A≠0). (2)用定义法证明时，和中的n的范围不同. 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－. 又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列. a 跟踪训练1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn (n＝1,2,3，…).证明：数列是等比数列. 由a1＝1，an＋1＝Sn，得an>0，Sn>0. 由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 所以＝2·，则＝2. 因为＝＝1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. ＝ a a 由得q＝. 则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝， 由a5＝8，a7＝a5·q2＝2，得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8. ∵a2a4＝， ∴a＝a1a5＝a2a4＝， ∴a1aa5＝. ①若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； a＋2a6a8＋a＝49， 方法一　设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216， 因此前三个数为，6,6q. 解得q＝. 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216， ，， 42， 即21q3＝42，解得q＝. (2)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为 A. B.3 C.±  D.±3 又a1a13＝a2a12＝a＝9， 所以＝a7＝3. 即 整理得解得 ＝q(n≥2，n∈N*) ，{a} q，，q2 A.  B. C. D. 数列{An}(n＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是＝＝ ＝q(常数). (2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 2.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a＝9a1·a9，则等于 A.3 B. C. D. 所以＝＝＝. a 3.等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于 A. B. C. D.6 方法一　 ∴q13＝＝， 则＝＝＝. 方法二　＝＝q13＝， 则＝＝＝. ，，， 方法一　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a. 由题意得解得q＝2或q＝， 当q＝时，a＝，这四个数为，，，. 方法二　设后三个数为a－d，a，a＋d，则第一个数为， 由题意得 解得或 ∴这四个数为3,6,12,18或，，，. A.4 B. C. D.2 由等比数列的性质可得a＝a9a3，得a3＝4. 则＝＝＝. 2.在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于 A.1 B. C. D. a 依题意，得a1·a99＝16，而a1·a99＝a， a·q8， a·q6 a·q8 a·q10 a－3an＋1an－4a＝0 由a－3an＋1an－4a＝0， 所以an＋1－4an＝0，＝4. 因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－. 7.在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. － 设数列{an}的公比为q(q>0)，∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2，又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8. 又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4， ∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，∵n∈N*， ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×2＝1. 10.已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*. (1)求证：是等比数列； 由已知得an＋1－＝an－＝， 即＝， 因为a1＝，所以a1－＝， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由(1)知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以an－＝×n－1， 所以an＝×n－1＋. 11.在数列{an}中，a1＝，∀m，n∈N*，am＋n＝aman，则a6等于 A. B. C. D. 由于∀m，n∈N*，有am＋n＝aman，且a1＝，令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝×n－1＝n， 故a6＝6＝. B.sin ＝ b 对于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝b＝4，所以sin ＝sin ＝1，故B错误； 对于D，由b5＝2，得b3，b7>0，故b3＋b7≥2＝2＝4，当且仅当b3＝b7＝2时等号成立，故D正确. 14.已知，是等比数列{an}图象上的两点，则an＝_________. 3×n－1 方法一　由等比数列与函数的关系，可设过，的函数解析式为y＝A·qx(A为常数，Aq≠0)， 则解得 ∴y＝6×x. 故an＝6×n＝3×n－1. 方法二　由题意知a2＝，a5＝， ∴q3＝＝， ∴q＝， ∴an＝a2·qn－2＝×n－2＝3×n－1. ， ，， … A. B. C. D. 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝. ， ，， … an ∵an＋1＝an＋n－4且a1＝λ， ∴a2＝λ－3，a3＝λ－4. 则a＝a1·a3， 即2＝λ， 即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，该方程无解， ＝(－1)n＋1＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn， 此时＝－(n∈N*)，数列{bn}是等比数列. $$