4.3.1.1 等比数列的概念及通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时 等比数列的概念及通项公式 第四章　4.3.1　等比数列的概念 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4.理解等比数列通项公式与函数的关系. 学习目标 导语 据说，国际象棋起源于古印度，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他想要得到什么赏赐.宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求.显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1,2,22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列. 一、等比数列的概念 二、等比中项 课时对点练 三、等比数列的通项公式 随堂演练 内容索引 等比数列的概念 一 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9,92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐 藏着一列数： 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 对于(1)我们发现 …，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9； 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2 前 比 同一个 公比 知识梳理 8 注意点： (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 知识梳理 9 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. 不是等比数列； 10 (3)1,0,1,0,1,0，…； 不是等比数列； (4)1，－4,16，－64,256，…； 是等比数列，公比为－4； (5)a，a，a，a，a…. 当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时，是等比数列，公比为1. 11 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 反思感悟 12 跟踪训练1　已知数列{an}为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是 √ 设{an}的公差是d，即an＋1－an＝d， 显然 ≠0，且 ＝2d是常数， 是等比数列； 若an＝1，则lg an＝0，则{lg an}不是等比数列； 13 等比中项 二 问题2　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假 设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ，即x2＝－1， 该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2＝ab 注意点： (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 知识梳理 16 √ 17 (1)由等比中项的定义可知 ，所以只有a，b同号时，a，b才有等比中项，且有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 反思感悟 18 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝_____. 9 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d. 又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴ ＝a6ak＋6， 即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去). 19 等比数列的通项公式 三 问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知 ＝q (n∈N*且n≥2). 当n＝1时，上式也成立. 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …… 由此可得an＝a1qn－1(n≥2)，当n＝1时，上式也成立. 问题4　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝ (n∈N*). 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝ ·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即 . (2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . a1qn－1 an＝f(n) ka a 知识梳理 23 注意点： (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q＝1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 知识梳理 24 例3　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 25 (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 又an＝1， 即26－n＝20，故n＝6. ① ② 26 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 反思感悟 27 跟踪训练3　若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为 A.－2 B.2 C.－3 D.3 √ 28 设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a2＝3，a4＋a5＝81， 解得q＝3. 29 例4　已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立， 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 30 延伸探究　若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若等比数列{an}是递增数列， 可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n)}， 此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 31 判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列. (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列. 反思感悟 32 跟踪训练4　设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 33 设等比数列{an}的公比为q， 由a1<a2，可得a1(q－1)>0， 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列， 此时a1<a2一定成立. 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 34 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比中项的概念. (3)等比数列的通项公式及其与函数的关系. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于 A.6 B.－6 C.－12 D.12 √ √ 设等比数列{an}的公比为q， √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝____________________. 设数列{an}的公比为q，则q＝3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， 1 2 3 4 4.已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝____. ∵{an＋3}是等比数列，an＋1＝λan＋2， ∴an＋1＋3＝λ(an＋3)， 即an＋1＝λan＋3λ－3， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是 A.1 B.－1 C.－3 D.－4 √ 解得a＝－4，b＝2，c＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于 A.108 B.54 C.36 D.18 √ 因为an＋1＝3an， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 则a4＝33a1＝54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 √ ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1⇏{an}为递增数列且{an}为递增数列⇏q>1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确； 若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝ <1，B不正确，D正确； 若a1＝－16，q＝ ∈(0,1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等比数列a，2a＋2,3a＋3，…中，a＝______. 由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1， 当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件. 当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知正项等比数列{an}，若3a1， ，2a2成等差数列，则{an}的公比q＝______. 解得q＝3. 所以{an}的公比q＝3. 3 9.(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数， 求an； 设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＝a1·qn－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.求满足下列条件的数： (1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列； 设这4个数构成的等比数列为{an}，公比为q， 则a1＝9，a4＝243， ∴q3＝27，∴q＝3， ∴a2＝27，a3＝81， 故在9与243中间插入27,81，可使这4个数成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 设这6个数构成的等比数列为{bn}，公比为q， 则b1＝160，b6＝－5， ∴b2＝b1q＝－80，b3＝b2q＝40， b4＝b3q＝－20，b5＝b4q＝10. ∴在160与－5中间插入－80,40，－20,10，可使这6个数成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于 A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1 C.(－2)n D.－(－2)n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3＝－8，q＝－2， 又a5＞a2， 所以a2＜0，a5＞0， 从而a1＞0，即a1＝1， 故an＝(－2)n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 反之：由a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4， 若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝_____. 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63. 2n＋2 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为 A.m≥6 B.m≥ C.m≤6 D.m≥2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2－d，2,2＋d. 16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件③： 因为S3＝9， 所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. ，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…， ＝9，＝9，＝9， 对于(2)＝，…； 对于(3)＝－，…，也有相同的取值规律. (1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*). 是等比数列，公比为； (1)1，，，，，…； (2)，2，3，4，…； A. B.{lg an} C.{a} D. 只要d≠0，{a}，都不可能是等比数列，如an＝n，a＝n2，＝. ＝ －2和＋2的等差中项为＝， 例2　－2和＋2的等差中项与等比中项分别为 A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± －2和＋2的等比中项为±＝±1. ＝⇒G2＝ab⇒G＝± a 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第 n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). a1＝＝＝5，故a1＝5. 因为 由，得q＝，从而a1＝32. 所以32×n－1＝1， 所以 所以＝， 解得或 可得或 ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，∴b＝±4，ab＝±6. 则由a3＝1，a2＋a4＝， 得q＋＝，解得q＝或q＝3， 又{an}单调递减，故q＝，a1＝＝9. 2.在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于 A.9 B.3 C. D. 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. ∴a1<，故a1可取， ×3n－1(答案不唯一) ∴3λ－3＝2，∴λ＝. 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.nn－1 D.n＋1n－1 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×n－1＝2×n－1×n－1＝n＋1×n－1. 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1， ∴G＝±1. 2.2＋和2－的等比中项是 A.1 B.－1 C.±1 D.2 由题意，得 因为已知正项等比数列{an},3a1，a3，2a2成等差数列， a3 所以 由已知得解得 ∵q>0，∴q＝， ∴an＝128×n－1＝. 得＝×n－1， 即n－1＝3，解得n＝4. (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； ∴q5＝－，∴q＝－， 则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列， A.8 B. C.8或2 D.8或 . 又∵前3项成等比数列，根据等比中项的性质，可知第1项为， ∴数列{an}为，2－d，2,2＋d. ∴m＝＋2－d＋2 ＝d2－3d＋6＝(d－3)2＋≥. 联立解得或(舍去)， 联立解得或(舍去)， 联立解得或(舍去)， $$