4.2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第2课时 等差数列前n项 和的性质及应用 第四章　4.2.2　等差数列的前n项和公式 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. 学习目标 一、等差数列前n项和的实际应用 二、等差数列中前n项和的最值问题 课时对点练 三、等差数列前n项和的性质 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的实际应用 一 问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题. 提示　我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等. 例1　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ 6 设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 因此利润y＝50n－(72＋2n2＋10n) ＝－2n2＋40n－72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N*， 所以从第3年起开始获取纯利润. 7 (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 所以应在第6年转投其他项目. 8 (1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现. 反思感悟 9 跟踪训练1　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月 (按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织____尺布(不作近似计算). 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30 10 等差数列中前n项和的最值问题 二 问题2　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　 当d≠0时，Sn是常 数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R). 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________ 确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________ 确定. 大 小 知识梳理 13 (2)Sn＝ ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 最 值；当d<0时，Sn有最 值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 注意点： (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 小 大 知识梳理 14 例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 15 方法一　因为S8＝S18，a1＝25， 解得d＝－2. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 16 方法二　同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又因为n∈N*， 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 17 方法三　因为S8＝S18， 所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2， 所以Sn的最大值为169. 18 方法四　设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25， 所以当n＝13时，Sn取得最大值. 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 19 (1)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ②运用二次函数求最值，注意n∈N*. (2)已知等差数列{an}，求{|an|}前n项和的方法根据(1)①中的方法寻找正、负项，然后分类讨论即可. 反思感悟 20 跟踪训练2　(1)(多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6＝S9，则下列结论正确的是 A.d<0 B.a8＝0 C.S5>S6 D.S7和S8为Sn的最大值 √ √ √ 21 a8＝0，所以d<0，所以数列{an}是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8＝0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8＝0，所以S7＝S8，又{an}为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确. 22 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝－16，S6＝－12. ①求{an}的通项公式an； 设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d， ∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*. 23 ②求数列{|an|}的前n项和Tn. 24 当an≥0时⇒2n－9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n－9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N*时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2， 25 当n≥5时， Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an) ＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16) ＝n2－8n＋32. 26 等差数列前n项和的性质 三 问题3　设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 . 3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 知识梳理 29 4.项的个数的“奇偶”性质： 知识梳理 30 √ 31 因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15， 32 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 33 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10＝100，S100＝10， 34 方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋ d＝S100＝10，解得d＝－22， 35 所以S110＝－110. 方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 36 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反思感悟 37 跟踪训练3　(1)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 √ 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列， 又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6， 则S9－S6＝9，S12－S9＝12， 则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30. 38 (2)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求公差d. 设首项为a1，公差为d， 又S偶－S奇＝6d，∴d＝5. 综上所述，公差为5. 39 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的实际应用. (2)等差数列前n项和的最值问题. (3)等差数列前n项和性质的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法. 3.常见误区： (1)忽视最值问题中n的个数. (2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 √ 1 2 3 4 方法一　令an＝26－2n≥0， ∴1≤n≤13， ∴当1≤n<13时，an>0， 当n＝13时，an＝0， 当n≥14时，an<0， ∴当n＝12或n＝13时， Sn最大. 1 2 3 4 方法二　∵an＝26－2n， ∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)， ∴数列{an}为等差数列. 又a1＝24，d＝－2， ∵n∈N*， ∴当n＝12或13时，Sn最大. 1 2 3 4 √ 由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 设S3＝k，S6＝4k(k≠0)，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k， 1 2 3 4 3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 √ 1 2 3 4 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207. 1 2 3 4 2 020 1 2 3 4 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若 ＝2，则S10等于 A.10 B.100 C.110 D.120 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{an}是等差数列，a1＝1， ∴S10＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为 A.30 B.70 C.50 D.60 √ ∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， ∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， ∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m， ∴S2m＝50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 018，Sk＝S2 006，则正整数k为 A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 √ 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数， 所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，Sk＝S2 006， 解得k＝2 023. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则Sn的最小值等于 A.－32 B.－35 C.－36 D.－38 √ 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－11，所以a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6， 解得d＝2. 故当n＝6时，Sn取得最小值－36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是 A.d<0 B.a7＝0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S5<S6＝S7>S8， ∴a6>0，a7＝0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为Sn的最大值. S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0. ∴S9<S5，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为______. ∵等差数列有2n＋1项，S奇－S偶＝an＋1， ∴an＋1＝15. 又S2n＋1＝(2n＋1)an＋1， ∴165＋150＝(2n＋1)×15， ∴n＝10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若数列{an}的前n项和Sn＝ ，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝_____. a10＋a11＋a12＋…＋a99＝S99－S9 ＝(－2)－(－1)＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； 由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0， 解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由(1)知a1＝9，d＝－2， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0， ∴{an}是递减数列. 令an≥0， 则11－2n≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵n∈N*， ∴当n≤5时，an>0； 当n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2, …，a25. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12× ＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放 A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝3 500， 因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)， 解得S30＝4 500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在公差d＝3的等差数列{an}中，a2＋a4＝－2，则数列{|an|}的前10项和为 A.127 B.125 C.89 D.70 √ ∵d＝3，a2＋a4＝－2， ∴2a1＋4d＝－2， 解得a1＝－7. ∴an＝－7＋3(n－1)＝3n－10. ∴当n＝1,2,3时，an<0；当n≥4时，an>0. 则数列{|an|}的前10项和＝－a1－a2－a3＋…＋a10＝S10－2S3＝ －2× ＝89. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等差数列{an}，满足a2 022＋a2 023<0，a2 022·a2 023<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于 A.4 043 B.4 042 C.4 041 D.4 040 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列. 又a2 022＋a2 023<0，a2 022·a2 023<0， 所以a2 022>0>a2 023， 即数列的前2 022项为正数，从第2 023项开始为负数， 由等差数列求和公式和性质可知， 所以当Sn取最小正值时，n＝4 043. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 A.9 B.10 C.19 D.29 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个. 当n＝19时，S19＝190. 当n＝20时，S20＝210>200. ∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________. 5 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 16.已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________. (1)判断2 023是否是数列{an}中的项，并说明理由； 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①， 设数列{an}的公差为d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20. 令3n－20＝2 023，得n＝681∈N*， 所以2 023是数列{an}中的第681项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②， 设数列{an}的公差为d， 所以an＝2n－12. 所以2 023不是数列{an}中的项. (2)求Sn的最小值. 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①， 所以当n≤6时，an<0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②， 令2n－12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝－30. 共12n＋4×＝(2n2＋10n)万元， 年平均获利为＝＝－＋40， 因为2n＋≥2＝24， 所以－＋40≤－24＋40＝16， 当且仅当2n＝，即n＝6时，取等号， ＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝. 故该女子织布每天增加尺. 由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n， n2＋n 所以8×25＋d＝18×25＋d， 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 由得 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 由题意得解得 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找； 根据题意可得6a1＋d＝9a1＋d，即a1＋7d＝a8＝0. 因为a1>0， ∴即 解得 由①知Sn＝(－7)n＋n(n－1)×2＝n2－8n. 综上，Tn＝ (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an). 5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 例3　(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1,2，…)，则＋等于 A. B. C. D. 所以＋＝， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝ (n＝1,2，…)， 所以＋＝＝＝＝＝. ∴ 解得 ∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110. ∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝×＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 则由题意可得解得 ∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则等于 A. B. C. D. 所以＝. 故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35. 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，－＝2，则＝________. ∴是等差数列，设其公差为d. ∵－＝2，∴2d＝2，d＝1. ∵a1＝－2，∴＝－2， ∴＝－2＋(n－1)×1＝n－3， ∴＝2 023－3＝2 020. － ∴也是等差数列且首项为＝1. 又－＝2， ∴的公差是1， ∴＝1＋(10－1)×1＝10， 可得＝， ＝＝＝＝＝＝. 4.若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则等于 A. B. C. D. 因此Sn＝na1＋×d＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36， Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， 解得n≤. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 其前n项和Sn＝＝. S4 043＝·＝4 043a2 022>0， S4 044＝＝2 022<0， ∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝. 所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＋＝5 050. 则解得 则解得 令2n－12＝2 023，解得n＝∉N*， 令an＝3n－20>0，解得n>， $$