4.2.2.1 等差数列的前n项和公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时　 等差数列的前n项和公式 第四章　4.2.2　等差数列的前n项和公式 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个. 学习目标 导语 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和. 一、等差数列的前n项和公式 二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 课时对点练 随堂演练 内容索引 等差数列的前n项和公式 一 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 问题2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现， 无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝ ，可见，结果与项数的奇偶无关. 方法二　(如图)在原式的基础上，再加一遍 1＋2＋3＋…＋n， 即S＝1＋2＋3＋…＋n， S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和. 问题3　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝ ，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝__________ Sn＝_____________ 知识梳理 12 注意点： (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 知识梳理 13 例1　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， 14 (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39， ∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 15 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq， 特别地，m＋n＝2p，2ap＝am＋an常与求和公式Sn＝ 结合使用. 反思感悟 16 跟踪训练1　在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； 设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. 17 (2)a3＋a15＝40，求S17； 18 解得n＝15. 19 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 二 问题4　等差数列前n项和Sn＝na1＋ 是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 提示　当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数； 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数. 例2　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 22 当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列. 23 延伸探究　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 24 ∵Sn＝2n2－3n－1， ① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1， ② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 25 由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则 由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝ 数列{an} 不是等差数列. 反思感悟 26 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 27 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是 ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴数列{an}中前两项的差与第二、三项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列. 28 1.知识清单： (1)等差数列前n项和公式的推导过程. (2)等差数列前n项和有关的基本运算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， √ 1 2 3 4 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5，a25是方程x2－4x＋3＝0的两根，则S29等于 A.60 B.116 C.29 D.58 √ 因为a5，a25是方程x2－4x＋3＝0的两根，故可得a5＋a25＝4； 1 2 3 4 由Sn是等差数列{an}的前n项和， √ 1 2 3 4 4.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式an＝______________. 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2(n∈N*). －2n＋2(n∈N*) 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ ，S4＝20，则S6等于 A.16 B.24 C.36 D.48 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 解得d＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于 A.10 B.15 C.20 D.30 √ 所以n2＋9n＝580， 解得n＝20或n＝－29(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13等于 A.130 B.65 C.70 D.75 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a7＋a12＝(a1＋d)＋(a1＋6d)＋(a1＋11d)＝3a1＋18d＝30， ∴a1＋6d＝10. 方法二　∵a2＋a7＋a12＝30， ∴3a7＝30，即a7＝10， 4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于 A.－1 B.3 C.5 D.7 √ 由题意知a1＋(n－1)×2＝11， ① √ 由①②解得a1＝3或a1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.等差数列{an}的公差为正数，记前n项和为Sn，若a3＝5，S9＝a4a5，则 A.an＝3n B.an＝2n－1 C.an＝4n－7 D.an＝8n－19 √ 设等差数列{an}的公差为d，则d>0，所以a5>a3>0， 所以a4＝9，则d＝a4－a3＝4， 故an＝a3＋(n－3)d＝5＋4(n－3)＝4n－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____. 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________. 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； 设数列{an}的首项为a1，公差为d. ∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若Sn＝242，求n. 又Sn＝242， 得n2＋11n－242＝0， 解得n＝11或n＝－22(舍去). 故n＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，a3＝6. (1)求Sn的表达式； 设Sn＝an2＋bn＋c(a≠0). ∵a1＝－2，a2＝2，a3＝6， ∴Sn＝2n2－4n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断{an}是否为等差数列，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {an}是等差数列，理由如下： 当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn＝2n2－4n符合等差数列前n项和的形式， ∴{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　当n＝1时，∵a1＝S1＝2－4＝－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6； 当n＝1时，a1＝－2，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝6， ∴an＝4n－6(n∈N*)， ∴{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若am＋1＋am＋am－1＝18，且Sm＝28，则m的值为 A.7 B.8 C.14 D.16 √ ∵在等差数列{an}中，am＋1＋am＋am－1＝18，∴3am＝18，∴am＝6， ∵a1＝1，Sm＝28， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列{an}的前三项依次为－1,1,3，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于 A.197 B.199 C.207 D.203 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数， 所以数列{an}是等差数列. 又因为数列{an}的前三项依次为－1,1,3， 所以等差数列{an}的首项为－1，公差为2， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N*)， 所以a100＝197. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设数列{an}的前n项和为Sn，点 (n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝_____________. 依题意得 ＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，设其公差为d，则d＝6， 所以an＝6n－5(n∈N*). 6n－5(n∈N*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C； 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9， ∴an＝4n－3，n∈N*. (2)若bn＝ (c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知Sn＝2n2－n， 又{bn}也是等差数列， ∴b1＋b3＝2b2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ⇒ na1＋d 解得 S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 由已知得S8＝＝＝172， 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. S17＝＝＝＝340. 由题意得，Sn＝＝＝－5， (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 又a15＝＋(15－1)d＝－， 解得d＝－， 所以n＝15，d＝－. d Sn＝n2＋n. 故an＝ an＝ ∴Sn＝＝－n2＋. A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 又因为{an}是等差数列，故S29＝＝＝58. 故＝＝＝×＝3. 得＝， 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 A. B. C.2 D.3 由已知得4a1＋d＝20， 即4×＋d＝20， ∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48. 因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n， ∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝13×10＝130. ∴S13＝＝＝13a7＝130. 由S13＝＝0， Sn＝na1＋×2＝35， ② S9＝＝9a5＝a4a5， 则 解得 由(1)得Sn＝na1＋d＝n2＋11n， ∴解得 方法一　∵等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n， ∴28＝，∴m＝8. A. B. C. D. 所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝. ∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14， ∴解得 解得c＝－(c＝0舍去). ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝. 即2×＝＋， $$