4.2.1.2 等差数列的判定与性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第2课时　 等差数列的判定与性质 第四章　4.2.1　等差数列的概念 1.掌握等差数列的判定与证明的方法. 2.掌握等差数列的性质及应用. 3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 学习目标 导语 当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？ 一、等差数列的判定与证明 二、等差数列的性质 课时对点练 三、由等差数列构造新数列 随堂演练 内容索引 等差数列的判定与证明 一 问题1　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？ 提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性. 证明或判定等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q为常数). 注意点：证明{an}是等差数列常用定义法. 知识梳理 7 8 9 (2)求an. 10 11 12 (2)求数列{an}的通项公式. 13 (1)通项公式法不能作为证明方法. (2)若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差. (3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 反思感悟 14 跟踪训练1　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2， (1)证明：数列{bn}是等差数列； 15 (2)求数列{an}的通项公式. 16 等差数列的性质 二 问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝ (n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.所以an＝2n－1. 问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq. 1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋ (m，n∈N*)； (3)d＝ (m，n∈N*，且m≠n). 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ . 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝ . (n－m)d ap＋aq 2ap 知识梳理 19 注意点： (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. 知识梳理 20 例2　(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 21 方法一　(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d＝20， 22 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. 23 (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n－1) 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. √ 24 延伸探究　在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10. 方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10. 25 (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 反思感悟 26 跟踪训练2　(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝_____. 8 方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 27 (2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是 √ 28 由3＋an＝an＋1， 得an＋1－an＝3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2＋a4＋a6＝9， 且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9， 则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2. 29 由等差数列构造新数列 三 问题4　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示　设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝ . 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 知识梳理 32 例3　在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； ∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. 33 (2)求数列{bn}的通项公式. 设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn＝13－20n. (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 3＋4×(503－1)＝2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2011项. 34 延伸探究　有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 √ 35 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16. 36 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1(n≥2)是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数. 反思感悟 37 跟踪训练3　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是_____. 12n－1 25 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1. 又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故{cn}的项数为25. 38 1.知识清单： (1)证明等差数列的方法. (2)等差数列的项与项之间的性质及应用. (3)由等差数列构造新的数列. 2.方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或解法烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列命题正确的是 A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B.若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列 C.若a，b，c成等差数列，则 可能成等差数列 D.若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列 √ √ 1 2 3 4 A选项，给出数列的有限项不一定可以确定通项公式，故A不正确； B选项，由等差数列性质知d>0，{an}必是递增数列，故B正确； C选项，a＝b＝c＝1时， ＝1是等差数列，而a＝1，b＝2，c＝3时不成立，故C正确； D选项，数列{an}是等差数列，设公差为d，所以an＋2an＋1＝a1＋(n－1)d＋2a1＋2nd＝3a1＋(3n－1)d也是等差数列，故D不正确. 1 2 3 4 2.在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于 A.20 B.25 C.30 D.33 √ 1 2 3 4 方法一　设等差数列的公差为d， 则a10＝－12＋5×9＝33. 方法二　因为a2＋a6＝2a4＝6，所以a4＝3. 又a5＝8，所以d＝a5－a4＝5， 所以a10＝a5＋(10－5)d＝8＋5×5＝33. 1 2 3 4 3.已知等差数列{am}满足am－1＋am＋1－ －1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1 ＝_____. ∵am－1＋am＋1＝2am， ∴2am－ －1＝0， 即(am－1)2＝0，∴am＝1， ∴a1＋a2m－1＝2am＝2. 2 1 2 3 4 36 1 2 3 4 1 2 3 4 方法二　因为a5＋a8＝a2＋a11，则 a11－a5＝a8－a2＝9， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为 A.52 B.50 C.51 D.49 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d等于 A.4 B.2 C.－2 D.2或－2 √ 因为在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝a4＋a5＝－6，a4a5＝8， 所以a4＝－4，a5＝－2， 则公差d＝a5－a4＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 √ 由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0， 故a3＋a99＝2a51＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3, a3)，Q(5, a5)的直线斜率为 由题意知等差数列{an}的公差d≠0，则an是关于n的一次函数，斜率为d. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题中，正确的是 A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确； C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， ∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}满足a1＝1，若点 在直线x－y＋1＝0上，则an＝___________. n2(n∈N*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)， 得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列－5， ，－2， ，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是 A.{|an|} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列－1,1,3是等差数列， 取绝对值后，1,1,3不是等差数列，A不成立； 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知， {an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立； 若{an}的公差为d， 则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立； (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ ∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a2＋a2 022＝10， 由等差数列的性质得2a1 012＝10，即a1 012＝5， ∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于 A.190 B.211 C.232 D.253 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得an能被3除余1，且被7除余1， 则an－1是21的倍数，即an－1＝21(n－1)，即an＝21n－20， ∴a10＝21×10－20＝190. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.则ak·ak＋1<0的k值为_____. 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为3an＋1＝3an－2， 所以数列{an}是首项为15， 得n<23.5，又k∈N*，所以使ak·ak＋1<0的k值为23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________.       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     142 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y. 由第3列得a33＝2×103－2x， 所以2x＋y＝113. ① 由第1列得a21＝3y， 则由第2行得a23＝2×74－3y， 由第3列得a33＋103＝a23＋2x，则a23＝3×103－4x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以2×74－3y＝3×103－4x， 即4x－3y＝161， ② 解①②，得x＝50，y＝13， 故标有*号的空格应填142. 16.已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. 令an＝4n－1＝135， 得n＝34， ∴135是数列{an}中的第34项. 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*. ∴4m＋19是{an}中的第m＋5项. (2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ap，aq是{an}中的项， ∴ap＝4p－1，aq＝4q－1. ∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*， ∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项. 例1　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； 数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝， 即是首项为＝， 公差为d＝的等差数列. 由(1)可知＝＋(n－1)d＝， ∴an＝，n∈N*. 延伸探究　将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”. (1)试证明数列{bn}为等差数列； bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列. 由(1)知bn＝＋(n－1)×＝. ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N*. 令bn＝. ∵－＝＝， ∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列. 由(1)知bn＝n＋， ∴an－1＝， ∴an＝，n∈N*. 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 则d＝＝＝2， 方法二　由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. A.－2 B.－ C.2 D. d 所以12n－10≤190，解得n≤， ，， ＝＝ 则⇒ a a 4.已知等差数列{an}满足a5＝2，a11＝11，则a－a＝_______. 方法一　设数列首项为a1，公差为d，则 解得 所以a8＝a1＋7d＝－4＋＝， a2＝a1＋d＝－4＋＝－， 故a－a＝2－2＝＝36. 因此，a－a＝(a8－a2)(a8＋a2)＝9×2a5＝36. 由已知得，an＋1－an＝，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列.所以a101＝2＋100×＝52. kPQ＝d＝＝＝＝4. A.4 B. C.－4 D.－ 对∀n∈N*都有2a＝a＋a，由等差中项法可知，数列为等差数列， 由于a1＝1，a2＝2，则数列的公差为d＝a－a＝7， 所以a＝a＋9d＝1＋9×7＝64，因此，a10＝4. 5.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N*都有2a＝a＋a，则 a10等于 A.10 B. C.64 D.4 由题设可得－＋1＝0， 即－＝1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N*). 8.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________. 对an＋1＝取倒数得＝＋3， ∴－＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列. ∴＝＋3(n－1)＝3n－＝， ∴an＝，∴a20＝. 方法一　设公差为d，则d＝＝＝－1， 则 原数列的公差d＝－－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－. － － 令－＝28，得n＝45，所以28是新数列中的项，是第45项. 所以an＋1－an＝－， 公差为－的等差数列， 所以an＝15－·(n－1)＝－n＋. 令an＝－n＋>0， 由第3行得a33＝， 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142， $$