4.2.1等差数列的概念（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式，通过宁夏一百零八塔视频情境导入，结合天坛石板数、服装尺码等实例，引导学生从生活现象中抽象数学规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，用视频和实例激发探究兴趣，通过不完全归纳法与累加法推导通项公式培养数学思维，结合一次函数几何意义深化理解，设置垃圾分类积分等实际问题提升数学语言表达能力。学生能直观建构知识，教师可高效开展概念教学与能力培养。

4.2等差数列 1 .等差数列的概念 第4章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 在宁夏黄河岸边有一独特景观——一百零八塔。它不仅是历史的瑰宝，还藏着有趣的数学奥秘。观看视频，你能否发现在建筑布局中蕴含哪些规律？ 情境引入 实例1 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 3 数列值 (aₙ ) 9 18 27 36 45 54 63 72 81 实例2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 2 2 2 2 2 2 2 4 数列值 (aₙ) 数列值 (aₙ) 38 40 42 44 46 48 实例3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ -0.6 -0.6 -0.6 -0.6 数列值 (aₙ) 数列值 (aₙ) 25 24.4 23.8 23.2 22.6 你能给出等差数列的定义吗？ 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 【定义】 问题1 问题2 你能用递推公式的形式将定义表达出来吗？ 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 由三个数组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项。 这三个数满足关系式:. 【定义】 已知数列为等差数列，请将空白处填上恰当数字. 问题3 递增数列 递减数列 常数列 不完全归纳法 问题4 你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？ 由等差数列的定义可得： 将左侧等式等号两边相加，得 = , 即= 当=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立. 等差数列通项公式：首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为 = 由定义知 累加法 累加得 由定义知 仔细观察！ 累加得 由定义知 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由an =a1+(n–1)d=dn +(a1–d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)= dx+(a1 –d)(x∈R)，当x=n时的函数值，有an=f(n). 如下图，在平面直角坐标系中画出函数f(x)= dx+(a1 –d)的图象，就得到一条斜率为d，截距为a1 –d的直线. 问题5 12 在这条直线上描出点(1,f(1)),(2,f(2)),…, (n,f(n)),…,就得到了等差数列的图象. 事实上，公差d ≠ 0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx +(a1–d)上. 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 反之，任给一次函数f(x)=kx+b(k，b为常数)， 问题5 则 f (1) = k + b，f (2) = 2k + b，… f (n) =nk+b，··· 构成一个等差数列，其首项为(k+b)，公差为k. 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题5 首项为，公差为的等差数列{an}的通项公式为： (n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝ d＝ 是一次函数当时的函数值. d >0时，数列{an}为递增数列， d＝0时，数列{an}为常数列, d<0时，数列{an}为递减数列. 变形式 推导式 几何意义 代数角度 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 问题6 由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性如何确定？ 问题7 例1.(1)已知等差数列{an}的通项公式为an =5 –2n，求{an}的公差和首项； 解：当n≥2时，由{an}的通项公式为an =5–2n，可得 an – 1 = 5 – 2(n – 1) = 7 – 2n 于是 d = an – an – 1 = 5 – 2n – (7 – 2n) = – 2 把 n = 1 代入 an = 5 – 2n，得 a1 = 5 – 2×1 = 3 所以，{an }的公差d = –2，首项a1 =3. 典例分析 分析：已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an-an-1=d即可求出公差. 例1.(2)求等差数列 8，5，2，……的第20项. 由已知条件，得 d = 5 – 8 = – 3 把a1 = 8，d = – 3， an= a1 + (n – 1)d an =8-3(n – 1)=11-3n 把 n = 20 代入上式得 a20 = 11 – 3×20 = – 49 所以，这个等差数列{an }的第20项是–49 . 分析：可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求出数列的第20项. 例2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？ 由a1 = – 5，d = – 9 – (– 5) = – 4，得这个数列的通项公式为 an = –5–4(n – 1)= – 4n – 1 令 – 4n – 1 = – 401 解这个关于的方程，得 n = 100 所以-401是这个数列的项，是第100项. 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看-401能否使这个方程有正整数解. 课堂练习 练习1.AI提问 19 已知数列为等差数列， 练习2.为鼓励居民积极参与垃圾分类政策，某个城市设定了这样的奖励机制。把居民参与垃圾分类的时间看作一个等差数列，第个月参与垃圾分类获得的积分就是。已知在第15个月时，居民平均获得的积分是8分；到第30个月，平均积分达到了38分。那按照这个趋势，第45个月居民平均能获得多少积分呢？ 实际问题 数学问题 已知数列为等差数列， 解:(1)设等差数列的首项为,公差为 由题意得解得 故 还有其他计算方法吗？ 还能继续拓展吗？ 已知数列为等差数列， 方法二：已知数列为等差数列，可设 由得 解得 故 已知数列为等差数列， 方法三：,,还可以利用等差中项计算。 2 数学知识解决实际问题，都是在为社会的可持续发展添砖加瓦。 练习3.已知数列满足a1=2，an+1=. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. （1）数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=，∴==+，∴-=， 即数列=，公差为d=的等差数列. （2）由(1)可知=+(n-1)d=，∴an=，n∈N*. 变式.将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4(n>1)， 记bn=”. (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. （1）bn+1-bn=-=-=-==. 又b1==，∴数列{bn}是首项为的等差数列. （2）由(1)知bn=+(n-1)×=.∵bn=，∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N*. 练习4.已知等差数列中，. （1）求数列的公差和； （2）满足的共有几项？ （1）由已知得 ，解得 ， 所以数列的公差为，为. （2）由（1）知，， 所以 ， 由 ，得 ， 所以 ，取整数共有23项. 所以满足的共有23项. 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 1.等差数列的概念 2.等差中项的概念 3.等差数列的通项公式 课堂小结 27 1.必做题：对应练习《等差数列的概念第一课时》 2.选做题：已知数列{}满足=. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求. 课后作业 感谢聆听! Lavf58.20.100 $