4.2.1.1 等差数列的概念及通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时 等差数列的概念 及通项公式 第四章　4.2.1　等差数列的概念 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 学习目标 导语 同学们，在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682, 1758,1834,1910,1986.通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？这就需要用到一种特殊的数列，今天我们一起来探讨此类数列. 一、等差数列的概念 二、等差中项 课时对点练 三、等差数列的通项公式 随堂演练 内容索引 等差数列的概念 一 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？ 提示　对于(1)，我们发现2010－2006＝4,2014－2010＝4,2018－2014＝4,2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 对于(2)有44－45＝－1,43－44＝－1，…. 对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律. 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示. 2 差 同一个常数 公差 d 知识梳理 8 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 知识梳理 9 例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. (1)1,3,5,7,9，…； 是，a1＝1，d＝2； (2)9,6,3,0，－3，…； 是，a1＝9，d＝－3； 10 (3)1,3,4,5,6，…； 不是； (4)7,7,7,7,7，…； 是，a1＝7，d＝0； 不是. 11 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 反思感悟 12 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是 A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 √ √ √ 由等差数列的定义得， A项d＝0，故是等差数列； B项d＝3，故是等差数列； C项d＝ ，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 13 等差中项 二 问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 ，且2A＝ . 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝ (3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系. 等差中项 a＋b 知识梳理 16 由题意知a，b的等差中项为 √ 17 (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 18 因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 又a是－1与3的等差中项， 又c是3与7的等差中项， 所以该数列为－1,1,3,5,7. 19 反思感悟 20 跟踪训练2　已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是 A.8 B.6 C.4.5 D.3 √ ∵m＋2n＝8,2m＋n＝10， ∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6， ∴2m－n和2n－m的等差中项是 21 等差数列的通项公式 三 问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 问题4　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝ (n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝ ，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列. 1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ . 2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 . a1＋(n－1)d d a1－d d 知识梳理 26 注意点： (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. (3)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列. 知识梳理 27 例3　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 28 (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 设等差数列{an}的公差为d，由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. 29 延伸探究　若等差数列{an}的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列{an}的前三项，并写出通项公式. 设等差数列{an}的公差为d， ∴a2＝a1＋d＝8，a3＝a1＋2d＝5. 数列{an}的通项公式为an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14. 30 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 反思感悟 31 跟踪训练3　在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－ ，a7＝8，则a1＝_____. 故a1＝10. 10 32 (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______. 设首项为a1，公差为d， 33 (3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝_____. 由题意得，d＝6－2＝4， 把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d， 得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， ∴a15＝4×15－2＝58. 58 34 例4　下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中正确的为 A.p1，p2 B.p3，p4 C.p2，p3 D.p1，p4 √ 35 设等差数列的首项为a1，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∵d>0，∴数列{an}递增，p1正确； [an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D. 36 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列. 反思感悟 37 跟踪训练4　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 √ ∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. ∴数列中第一个负数项是第8项. 38 1.知识清单： (1)等差数列的有关概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列通项公式与函数的关系. 2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法. 3.常见误区： (1)在具体应用问题中项数不清. (2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1,4,7,10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10,8,6,4,2 √ A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. √ √ 1 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为 A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 √ 设该等差数列的公差为d， 因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1， 所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1， 解得a＝2，所以a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 1 2 3 4 3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 A.26 B.29 C.39 D.52 √ ∵5，x，y，z，21成等差数列， ∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项. ∴5＋21＝2y， ∴y＝13，x＋z＝2y＝26， ∴x＋y＋z＝39. 1 2 3 4 4.写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝_____________，①am＋n＝am＋an(m，n∈N*)；②{an}单调递增. 假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得， a1＋(m＋n－1)d＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d⇒a1＝d， 再根据性质②可知，显然an＝n满足题意. n(答案不唯一) 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是 A.3n－1 B.3n＋2 C.3n－2 D.3n＋1 √ 因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N*. ∵b是x，2x的等差中项， 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于 A.90 B.96 C.98 D.100 √ 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是 A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1＋a2>a1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列， 所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确； a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<a2<0时不一定成立，所以D不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为 A.199 B.201 C.203 D.205 √ 由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝201. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在数列{an}中，若 ，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) √ 故an＝2(n＋1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为____. 设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6， 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝____. ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b， ∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b， ∴32＝32a＋b， ∴2a＋b＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中， (1)已知a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d； 因为a5－a3＝12， 所以公差d＝6. 由a12＝a1＋11d＝20，所以a1＝－46，故a1＝－46，d＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式. 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12. (2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n； 由an＝a1＋(n－1)d，得－15＝9－2(n－1)，解得n＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； 设数列{an}的公差为d， a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)问112是数列{an}的第几项？ an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)在80到110之间有多少项？ 由80<3n－5<110， 所以n的取值为29,30，…，38，共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ lg x，lg y，lg z成等差数列⇒2lg y＝lg x＋lg z⇒lg(x·z)＝lg y2⇒y2＝xz， 但y2＝xz不能保证x，y，z均为正数， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，a＋b＝1， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b， ① 由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2， 将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac， 即(a－c)2＝0，得a＝c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又a＋c＝2b， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an＋1－an}是等差数列，则a6等于 A.36 B.37 C.38 D.39 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a2－a1＝3，a3－a2＝5，所以(a3－a2)－(a2－a1)＝2， 又{an＋1－an}是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以a6＝(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(5＋4＋3＋2＋1)＋5＋1＝36. 16.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…， a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列. ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. (5)1，，，，，…. C.，，1，， D.－3，－2，－1,1,2 . 例2　(1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为 A. B. C. D. ×＝×(－＋＋)＝. 则b＝＝3， 所以a＝＝1. 所以c＝＝5. 若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝. ＝＝3. 由题意知 解得 解得 由题可得解得 由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×， 则 － 解得 nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误； ＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误； ∴b＝＝， 2.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于 A. B. C. D. ∴a＝，∴＝. 由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列， 所以＝2＋(n－1)＝n＋， ＝＋ 即解得d＝3. 由已知可得解得 则解得 解得28<n<38， 由解得<d≤3. A. B. C. D. 13.正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5， 当且仅当a＝b＝时，取等号. 14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为____________. 由，，成等差数列得＋＝2， ② 由②2－①得2＝2b，即b2＝ac， 由题意得， 解得 $$