4.1.2 数列的递推公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第2课时 数列的递推公式 第四章　§4.1　数列的概念 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 学习目标 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1. 一、数列通项公式的简单应用 二、数列的递推公式 三、由递推公式求通项公式 内容索引 课时对点练 随堂演练 四、an与Sn的关系 数列通项公式的简单应用 一 例1　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； 在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. 6 (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝ (舍去)，故45是数列{an}中的第5项. 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝ ，故3不是数列{an}中的项. 7 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 反思感悟 8 跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； 由题意知q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)， ∴q＝±3. 9 (2)判断－81是否为此数列中的项. 当q＝3时，an＝3n. 显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项. 10 数列的递推公式 二 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1 (2≤n≤7). 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 一个式子 知识梳理 13 14 15 延伸探究　在例2的条件下，求a2 024. 由例2知，a5＝a1＝2，a6＝a2＝－3，…， ∴{an}是周期为4的周期数列， 16 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性). 反思感悟 17 √ 18 由递推公式求通项公式 三 √ 方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 又a1＝1， 又a1＝1也适合上式， a1＝1， 以上各项相加得 因为a1＝1也适合上式， √ 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)( f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法. 反思感悟 27 ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an( f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法. ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 反思感悟 28 所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 又当n＝1时，a1＝1也符合上式， 29 因为ln an－ln an－1＝1， ＝ ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 30 an与Sn的关系 四 问题2　如果已知数列{an}的前n项和，如何求a4呢？ 提示　用{an}的前4项和减去前3项和. 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝ . a1＋a2＋…＋an 2.an＝ S1，n＝1， . Sn－Sn－1，n≥2 知识梳理 注意点： (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得. 知识梳理 例4　已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式. (1)Sn＝3n－1； 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1) ＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*). (2)Sn＝2n2－30n. 因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 显然a1＝－28适合上式， 所以an＝4n－32，n∈N*. 延伸探究　将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不适合上式. 由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系. ①若a1适合an(n≥2)，则an＝Sn－Sn－1. 反思感悟 38 当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 跟踪训练4　(1)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n2＋3n＋2，求an. 39 当n＝1时，由已知可得a1＝21＝2. 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， ① 可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1， ② (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an. 40 1.知识清单： (1)数列通项公式的简单应用. (2)数列的递推公式. (3)由递推公式求通项公式. (4)数列的前n项和Sn与an的关系. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： (1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. (2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. 课堂小结 41 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 1 2 3 4 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)，则a5等于 A.32 B.31 C.16 D.15 √ 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 当n＝5时，a5＝24＝16. 1 2 3 4 3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 024等于 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 ∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1， ∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2， a4＝1－a3－a2＝1－(－2)－2＝1， a5＝1－a4－a3＝1－1－(－2)＝2， … 依此类推，可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 024＝a2＝2. 1 2 3 4 4.323是数列{n(n＋2)}的第_____项. 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去). ∴323是数列{n(n＋2)}的第17项. 17 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是 A.15 B.255 C.16 D.63 √ 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 √ 结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是 A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) √ Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于 A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1－an＝－1. ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式. 故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝_____. a3＝a2＋a1＝5＋2＝7， a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______. a1a2…a8＝82， ① a1a2…a9＝92， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内. ∴0<an<1，∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式. ①Sn＝2n2－3n； 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 当n＝1时，a1＝－1，符合上式， 所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋2－(3n－1＋2)＝2×3n－1， 当n＝1时，a1＝5，不符合上式， ②Sn＝3n＋2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知数列{an}中，a1＝ ，an＝ an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以上n－1个式子左右两边分别相乘，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于 A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 √ 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝－2＋2an，则an＝_____. 当n＝1时，由a1＝S1＝－2＋2a1，得a1＝2，当n≥2时，由Sn＝－2＋2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1， 由累乘法可得an＝2n， 又a1＝2适合上式， 所以an＝2n. 2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝_______. 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 28 16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ 若a4＝4，求m所有可能的取值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故m所有可能的取值为4,5,32. － 例2　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6. a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， a6＝＝＝－3. ∴a2 024＝a4×505+4＝a4＝. a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 跟踪训练2　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是 A.1 B. C. D. 例3　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于 A. B. C. D. a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 由此可得数列的一个通项公式为an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 所以an＝(n∈N*). a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2). 所以an＝(n∈N*). (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于 A.n＋1 B.n C. D. 由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝··…···a1＝××…×××1＝. 当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝(n∈N*). 跟踪训练3　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. 因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－(n≥2). ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 所以an＝－＋1，n∈N*. 所以ln ＝1，即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1 所以an＝ ②若a1不适合an(n≥2)，则an＝ 又a1＝7不适合上式，所以an＝ 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝(n≥2). 显然a1＝2不适合上式，∴an＝ 2.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是 A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an ∵a4＝，a4＝＋1，∴a3＝， 又∵a3＝＋1，∴a2＝2， 又∵a2＝＋1，∴a1＝1. 3.已知数列{an}满足an＝＋1(n≥2，n∈N*)，若a4＝，则a1等于 A.1 B. C.2 D. 当n＝1时，不符合上式，故an＝ ②÷①得，a9＝＝. ∵an＝＝＝， ∴由an＝＝，解得n＝， ∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项. 9.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项； ∵an＝＝＝1－，n∈N*，0<<1， 所以{an}的通项公式是an＝ 因为an＝an－1(n≥2)， 所以当n≥2时，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， ··…··＝××…××， 即＝××2×1， 所以an＝(n≥2). 当n＝1时，a1＝，符合上式. 所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. 11.设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于 A. B. C.＋ D.－ ∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－. 12.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于 A. B.－1 C.2 D.3 由题意得，a2＝1－＝－1， a3＝1－＝2， a4＝1－＝＝a1，a5＝1－＝－1＝a2，a6＝2＝a3，… 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，＝2，a1＝4. 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， $$