4.1.1 数列的概念及通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时 数列的概念及通项公式 第四章　§4.1　数列的概念 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 5.了解数列是一种特殊函数. 学习目标 导语 有人说，大自然是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 一、数列的概念与分类 二、数列的通项公式 课时对点练 三、数列与函数的关系 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401, 16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数： (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…， 2 023； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的. 不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限； 从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 1.一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第__项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫做 . 2.数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 . 确定的顺序 项 1 2 an 首项 {an} 知识梳理 8 3. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 有限 无限 大于 小于 知识梳理 9 按项的变化趋势 常数列 各项都 的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项 它的前一项 相等 大于 小于 知识梳理 10 注意点： (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 知识梳理 11 例1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842，0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 12 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)(5)是递减数列； (3)是常数列； (6)是摆动数列. 13 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断. (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外. 反思感悟 14 跟踪训练1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023； (6)9,9,9,9,9,9. 15 (1)(6)是有穷数列； (2)(3)(4)(5)是无穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (6)是常数列； (5)是周期数列. 16 数列的通项公式 二 问题2　我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于(3)，an＝2 023，n∈{x|x是本班学生的学号}； 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 . 序号n 通项公式 注意点： (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一. 知识梳理 19 例2　根据数列{an}的通项公式，写出数列{an}的前5项，并作出它们的图象. (1)an＝(－1)n＋2； 数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如图①所示. 20 21 数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列中相应的项. 反思感悟 22 例3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 23 24 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1， (3)0,1,0,1； 25 各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (4)9,99,999,9 999. 26 延伸探究 根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1,11,111,1 111的一个通项公式. 27 2.试写出前4项为7,77,777,7 777的一个通项公式. 28 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.有时也可用分段形式. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 反思感悟 29 跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31，…； 由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，… 可得an＝2n－1. 30 31 32 (4)2×3,3×4,4×5,5×6，…. 可得an＝(n＋1)(n＋2). 33 数列与函数的关系 三 问题3　由例2可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 提示　函数. 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数值组成的. 注意点： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示. 知识梳理 36 例4　已知数列{an}的通项公式是an＝ ，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 37 解得2≤n≤3. 又n∈N*，则n＝2或n＝3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 38 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究 f(n)的单调性来研究最大(小)项. 反思感悟 39 跟踪训练3　已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N*， 所以当n＝2时，an取得最大值. 40 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列与函数的关系. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法正确的是 A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 √ 1 2 3 4 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确； 由数列的定义可知，D正确. 1 2 3 4 √ 方法一　将n＝1,2,3,4代入各选项验证易得答案. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.在数列{an}中，an＝ ，则{an} A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 √ 由反比例函数的性质得{an}是递减数列. 1 2 3 4 4.将数列{2n－1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a3＝_____. 由列举法可得a3＝25. 25 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的是 A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 √ 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知数列an＝ ，则数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于 A.35 B.－11 C.－35 D.11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是 A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* √ 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 A.105 B.106 C.107 D.108 √ ∵n是整数， ∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n＝12或n＝－14(舍去). 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在数列1,1,2,3,5,8，x，21,34,55，…中，x＝_____. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； 各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 每一项分母可写成21，22，23，24，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝ ，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)0.3,0.33,0.333,0.333 3，…； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n. 又第1项可改写成分数 ，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n· n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 023； 设an＝kn＋b(k≠0)， ∴an＝2n＋1(n∈N*)， ∴a2 023＝4 047. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式. ∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…， ∴bn＝4n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为 A.6 B.7 C.64 D.65 √ 由按规律排列的数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21,1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是_______. 因为数列{an}是递增数列，所以an＋1>an，所以(n＋1)2－λ(n＋1)＋3>n2－λn＋3，化为λ<2n＋1恒成立，因为n≥1且n∈Z，则2n＋1≥3，所以λ<3. λ<3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_______. 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 16.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在最大项. ∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列. 1，，，，，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； (4)，，，，…； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； 对于(2)，an＝n－1，n∈N*； 对于(5)，an＝n，n∈N*. (2)an＝. 数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如图②所示. (1)－1，，－，； 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)，2，，8； 数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. 所以通项公式可以写成an＝由第(1)题也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*). 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝(10n－1)，n∈N*. 由本例的第(4)题可知，每一项乘即可， 即an＝(10n－1)，n∈N*. 由＝，＝，＝，＝，＝，… (2)，，，，，…； 可得an＝. 由－，，－，，－，…可知奇数项为负数，偶数项为正数， (3)－，，－，，－，…； 可得an＝(－1)n×. 由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，… nn 根据题意，令 即 且a2＝a3＝2×2＝. (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. 2.数列，－，，－，…的通项公式可能是 A.an＝(－1)n  B.an＝(－1)n－1 C.an＝(－1)n D.an＝(－1)n－1 方法二　将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an＝(－1)n－1. 在数列{an}中，an＝＝1＋， 因为an＝n，所以该数列中的项为－，，－，，…，故该数列是摆动数列. n 由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)，所以a10＝＝. 5.数列，，，，…的第10项是 A. B. C. D. an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， ∵an＝，∴a10＝＝. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝_______. 由an＝＝，得n2＋2n－168＝0， (2)，，，，…； 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an＝，n∈N*. (4)－1，，－，，…. － ， 则解得 ∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，∴a2＝＋＋. 11.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于 A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 13.若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是 an＝＝， 因为 n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，…. ∵当n≥3时，＝×＝＝2<1， 又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝. ∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项. $$