第1章 再练1课(范围：§1～§5) （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

再练一课 (范围：§1～§5) 第一章　数　列 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.等差数列18,15,12，…的前n项和的最大值为 A.60 B.63 C.66 D.69 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a1＋a9＝a10，所以a10＝2a5，又因为公差d≠0，所以a10≠a5，所以a5≠0，所以 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.如果将2,5,10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是 依题意得(5＋t)2＝(2＋t)(10＋t)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为______元.(不包括a元的投资) A.4a(1.06n－1) B.a(1.06n－1) C.0.24a(1＋6%)n－1 D.4(1.06n－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设n年后他拥有的红利与利息之和为an元.则 a1＝a·24%＝0.24a； a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06； a3＝a·24%＋a2·1.06＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062； … an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1＝0.24a(1＋ 1.06＋1.062＋…＋1.06n－1)＝ ＝4a(1.06n－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴该数列的前n项和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是 A.若a3>0，则a2 023>0 B.若a4>0，则a2 024>0 C.若a3>0，则S2 023>0 D.若a3>0，则S2 023<0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设数列{an}的公比为q， 当a3>0时，a2 023＝a3q2 020>0，故A正确； 当a4>0时，a2 024＝a4·q2 020>0，故B正确； 当q<0时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0， 当0<q<1时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0， 当q>1时，1－q<0,1－q2 023<0，∴S2 023>0. 当q＝1时，S2 023＝2 023a1＝2 023a3>0， 故C正确，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则 A.S5＝35 B.an＋1－an＝n √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意可知an＋1－an＝n＋1，an＋1＝an＋n＋1，B选项错误； a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋3＝6，a4＝6＋4＝10，a5＝10＋5＝15， S5＝1＋3＋6＋10＋15＝35，A选项正确； an＋1－an＝n＋1，an－an－1＝n(n≥2)， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝____. 由a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，得a6＝30， 所以a3＋a9＝2a6＝60. 60 10.已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝_________. 由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n. 因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.数列{an}的前n项和为Sn＝n2－6n，则a2＝_____，数列{|an|}的前10项和|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝____. 当n＝1时，a1＝S1＝－5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7， 所以a2＝2×2－7＝－3， －3 58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.某电脑公司计划在2024年10月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司10月1日至10月10日的平均日销售量是____台. 设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售(a－2)台，第三个10天每天销售(a－4)台，第四个10天每天销售(a－6)台，由题意得，10a＋10(a－2)＋10(a－4)＋8(a－6)＝500，解得a＝16. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前n项和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，n∈N＋，有an≥n＋2. ①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 即ak≥k＋2， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2. 即当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②可知，对任意的n≥1，n∈N＋， 都有an≥n＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意可知，a1a4＝a2a3＝8， 由a4＝a1q3，得q＝2， 故an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为a5＝(－1)5 ×＝－. 一、单项选择题 1.已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为 A. B.－ C. D.－ 由题意知，数列的通项公式为an＝21－3n，令an＝0，得n＝7，所以Sn的最大值为S7＝S6＝＝63. ＝＝＝. 3.已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a9＝a10，则等于 A. B. C.9 D.5 解得t＝2.5，所以公比q＝＝. A. B. C. D. 0.24a· 6.数列1,2＋，3＋＋，…，n＋＋＋…＋的前n项和为 A.n＋1－n－1 B.n2＋n＋－2 C.n2＋n＋－2 D.n＋－1 设数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，也适合n＝1，故an＝n＋1－，n∈N＋. Sn＝＋＋＋…＋ ＝＋n－＝n2＋n＋－2. ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－ 又当q≠1时，S2 023＝， C.an＝ D.＋＋＋…＋＝ ＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，C选项正确； ＝＝2×， ＋＋＋…＋ ＝2×＝，D选项正确. ＝2× 因为a1＝2满足上式，所以an＝. ＝2＋＝(n≥2). 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋×7＝58. 设{bn}的公差为d，则有 解得 Sn＝＝6n2－22n. 由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5， 由此猜想an的一个通项公式为 an＝n＋1(n≥1，n∈N＋). 14.设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； 又a1＋a4＝9，可解得或(舍去). Sn＝＝＝2n－1， (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 又bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－ ＝1－. $$