第1章 再练1课(范围：§1～§3) （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

再练一课 (范围：§1～§3) 第一章　数　列 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于 A.2 B.20 C.100 D.不确定 √ ∵a100－a90＝10d＝20，∴d＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为 A.48 B.72 C.144 D.192 √ ∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为 A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以|a6|－|a7|＝a6＋a7>0， 所以|a6|>|a7|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.在等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4等于 A.－28 B.－21 C.21 D.28 ∵数列{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)， 即(S4－7)2＝7(91－S4)， √ √ 解得S4＝28或S4＝－21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知数列{an}是公差d不为0的等差数列，前n项和为Sn，且满足a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的是 A.a10＝0 B.S7＝S12 C.d<0 D.S19＝0 因为{an}是等差数列，设公差为d(d≠0)，由a1＋5a3＝S8，得a1＋9d＝0，即a10＝0，故A正确； 又S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，即S7＝S12，故B正确；由题目条件无法判断公差d的正负，故C错误； √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________. 设三边为a，aq，aq2(q>1)， 则(aq2)2＝(aq)2＋a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得n2－13n＋30＝0，解得n＝3或n＝10. 又当n＝3时，a1＝2>0； 2 3 故a1＝2，n＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝___. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴1＋q＝3，∴q＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意得 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 四、解答题 13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求{an}的公比q； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a1－a3＝3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用为2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元. (1)求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S(千元)关于n的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元， 故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，所以前n年的总费用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用(单位：千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用＝(购入机器费用＋运输安装费用＋每年投保、动力消耗的费用＋保养、维修、更换易损零件的累计费用)÷机器使用的年数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设使用n年的年平均费用为y，则 当且仅当n＝12时，取等号，取最小值. 故最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为15.5千元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. 由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若数列{an}唯一，求a的值. 设{an}的公比为q， 则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)， 得aq2－4aq＋3a－1＝0， 由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0， 故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根. 由{an}唯一，故方程必有一根为0， ∵＝q9＝8(q为公比)， 由 得 A. B. C. D. 由等比数列的性质可得a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为＝q3， 所以Sn＝. 5.设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…， an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为 A.1 673 B.1 675 C. D. 因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以 ＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为 ＝＝. A. B.π C.π D.3π 根据条件第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π. ∴S－7S4－588＝0， 又S19＝＝19a10＝0，故D正确. ∴q2＝.较小锐角记为θ， 则sin θ＝＝＝＝. 由 10.在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝____，n＝____. 当n＝10时，a1＝－<0，不符合题意，舍去， ∴b6b8＝b＝16. 11.在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝____. ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，又b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4. 方法一　设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝. 由题意得＝， 方法二　设所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S偶＋S奇 ＝3S奇，即S偶＝2S奇，∴q＝＝2. 由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，所以q＝－. 所以Sn＝＝. 由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4. S＝2＋3＋…＋(n＋1)＝. y＝ ＝＋＋≥2＋＝， 解得q1＝2＋，q2＝2－， 故{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. 代入上式得a＝. $$