1.3.1.2 等比数列的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　3.1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　 等比数列的性质 1.掌握等比中项的概念并会应用. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.掌握等比数列的实际应用问题. 学习目标 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比中项 二、等比数列的性质 课时对点练 三、等比数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等比中项 一 问题1　在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 问题2　我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等 差中项，且A＝ ，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何 数量关系？ 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那 么根据等比数列的定义， ，G2＝ab，G＝______，我们称G为a，b的 等比中项. 注意点： (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 知识梳理 7 例1　已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 √ ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号， ∴ac＝b2＝9. 8 等比中项应用的关注点 (1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. (3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零. 反思感悟 9 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 跟踪训练1　已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an ＝________. 10 等比数列的性质 二 问题3　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 _____ 常数列 _____ _____ 常数列 _____ 递减 递增 递增 递减 知识梳理 13 2.等比数列的常用性质 等比数列{an}中， (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 知识梳理 14 例2　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立；故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 15 (2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于 A.12 B.10 C.8 D.2＋log35 √ 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9. a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝9， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a5a6)5＝5log39＝10. 16 若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 延伸探究　在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 17 利用等比数列的性质解题的关注点 (1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质. (2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 反思感悟 18 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265， 所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29. 因为a8＝a3·q5，所以q＝2. 跟踪训练2　在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝_____. 256 19 等比数列的实际应用 三 例3　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； 21 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1， 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元). 22 (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 当他用满3年时，车的价值为 a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 所以用满3年卖掉时，他大概能得到7.29万元. 23 等比数列应用题的关注点 (1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. (2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题. (3)步骤 反思感悟 24 跟踪训练3　某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？ 25 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)， 则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25， 故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)， 即该厂第一季度实际生产电脑305台. 26 1.知识清单： (1)等比中项. (2)等比数列的函数性质与常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4a10等于 A.±16 B.16 C.±64 D.64 √ 因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4a10＝a5a9＝2×32＝64. 1 2 3 4 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米. 2 048 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等比数列{an}的公比为q，则“{an}是递增数列”的一个充分条件是 A.a1>0 B.q>1 C.a1<0，q<0 D.a1<0,0<q<1 √ 由等比数列{an}是递增数列⇔an＜an＋1⇔a1qn－1＜a1qn⇔a1qn－1(1－q)＜0， 若a1＞0，则qn－1(1－q)＜0，得q＞1； 若a1＜0，则qn－1(1－q)＞0，得0＜q＜1； 所以等比数列{an}是递增数列⇔a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1； 故等比数列{an}是递增数列的一个充分条件为a1＜0,0＜q＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a2b2＝(ab)2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂 A.65只 B.66只 C.216只 D.36只 √ 设第n天蜜蜂归巢后，蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝6，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…， ∴{an}是首项为6，公比为6的等比数列. ∴a6＝a1·q6－1＝66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1， a7a8>1， <0.则下列结论正确的是 A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 √ ∴a7>1,0<a8<1， 故A正确；B正确；C错误； T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后______分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB). 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分钟). 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝___. ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根. 1 又a7是a5与a9的等比中项， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 即(a3＋a5)2＝36， 又∵an>0，∴a3＋a5＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， ∵a2－a5＝42，∴q≠1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设G是a5，a7的等比中项， ∴a5，a7的等比中项为±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 022和a2 023是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 032＋a2 033的值； 解方程4x2－8x＋3＝0， 所以a2 032＋a2 033＝(a2 022＋a2 023)q10＝2×310. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在等比数列{an}中，由a4a7＝－512， 得a3a8＝－512， 又a3＋a8＝124， 解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4， 因为公比q为整数， 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足 A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0 √ 先证必要性： ∵a1<0，且{an}是递增数列， 则此时公比q满足0＜q＜1； 再证充分性： ∵a1<0,0<q<1，∴an<0， 则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于 A.2n B.2n2 C.2n2－n D.n2 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为______. 1 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝ ， 所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_______. 275或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)， 解得d＝3或d＝0， 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项， a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8. 16.某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米.该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式：(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}， 则a1＝100，公比q＝1＋x， 则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8. 2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米). 因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)， 故该城市的人口年平均增长率约是0.003. 提示　因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±. ＝ ± a 4×n－1 所以q＝＝＝， 所以an＝4×n－1. 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 所以a7＝＝256. →→→→→ 由题意得 解得 由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列. 1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是 设2＋和2－的等比中项为G， 则G2＝(2＋)(2－)＝1，所以G＝±1. 2.2＋和2－的等比中项是 A.1 B.－1 C.±1 D.2 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米). 由题意可得＝q2＝，解得q＝±. 1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于 A.－ B.－2 C.2 D.± 由题意可得a3a5＝a＝4(a4－1)，解得a4＝2，所以q3＝＝8，解得q＝2，故a2＝a1q＝. 2.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于 A.2 B.1 C. D. 4.(多选)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值可能是 A.1 B.－ C. D.－ ＋＝＝2， 因此＝＝1或－. 所以或 ∵a1>1，a7a8>1，<0， ∴∴∴a7＞0. ∴a＝a5·a9＝1，∴a7＝1. ∴a＋2a3a5＋a＝36， 由已知，得 ∴ 解得 则G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10 ＝962×10＝9， 得x1＝，x2＝， 由q>1，得a2 022＝，a2 023＝，q＝3， 所以q＝＝－＝－2， A.5 B.7 C.6 D.4 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝. ∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝. ∴a＝a2a8＝＝ ， ∴a4a5a6＝a＝ ＝5. ∴an<0，即q＞0，且＝＝q<1， ∴＝＝q<1，即an＋1>an， 因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列， 所以 解得 所以an＝16×n－1＝25－n， 由题意得＝24，即(1＋x)8＝， 所以1＋8x≈，解得x≈0.003. $$