1.3.1.1 等比数列的概念及通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　 等比数列的概 念及通项公式 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算. 学习目标 导语 有位印度教宰相向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他想要得到什么赏赐.宰相开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒，第二个格子上放2粒麦粒，第三个格子上放4粒麦粒，第四个格子上放8粒麦粒……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后第64格放满为止，这样我就十分满足了.”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个请求.显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1,2,22,23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列. 一、等比数列的概念 二、等比数列的通项公式 课时对点练 三、等比数列通项公式的应用 随堂演练 内容索引 等比数列的概念 一 问题1　观察下面几个数列： 提示　都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数. 上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是___________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的_____，通常用字母__表示(q≠0). 同一个常数 公比 q 知识梳理 7 注意点： (1)等比数列定义的符号语言： ＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”. (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 知识梳理 8 例1　(1)(多选)下列各组数成等比数列的是 A.1，－2,4，－8 C.x，x2，x3，x4 D.a－1，a－2，a－3，a－4 √ 由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列. √ √ 9 (2)以下数列中是等比数列的有___.(填序号) ①数列1,2,6,18，…； ④ 10 在数列③中，若a＝0，则不是等比数列； ④中数列是等比数列. 11 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. (2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒. 反思感悟 12 跟踪训练1　判断下列数列是否为等比数列： (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； 记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∴数列为等比数列，且公比为3. 13 (2)－1,1,2,4,8，…； 记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∴此数列不是等比数列. 14 (3)a，－a，a，－a，…. 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 15 等比数列的通项公式 二 问题2　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 当n＝1时，上式也成立. 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立. 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0). 注意点： (1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝ 的图象上的一群孤立的点. (2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋). a1qn－1 知识梳理 18 例2　在等比数列{an}中. 19 方法一　设等比数列的公比为q， 20 整理得2q2－5q＋2＝0， 由an＝a1qn－1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7. (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n. 21 延伸探究　本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 22 (1)等比数列通项公式的求法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个. 反思感悟 23 跟踪训练2　在等比数列{an}中， (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； 因为a9＝a1q8， 24 (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q. 25 等比数列通项公式的应用 三 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 27 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 28 aq(q≠0)， 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 29 (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 反思感悟 30 跟踪训练3　已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为 ， 则这三个数依次为_____________. 31 1.知识清单： (1)等比数列的概念及判断. (2)等比数列的通项公式. (3)等比数列中项的设法. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区： (1)四个数成等比数列时设成 aq，aq3，未考虑公比为负的情况. (2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32 √ 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1， 即2n－1＝32，解得n＝6. 1 2 3 4 3.在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝___. 1 2 3 4 4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________. 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3. －1或3 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.有下列四个说法： ①等比数列中的某一项可以为0； ②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)； ③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1； ④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列. 其中正确说法的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确. 根据数列可知，该数列是一个以1为首项， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为 A.－64 B.64 C.－48 D.48 √ 因为a4＝a1q3＝a1×(－2)3＝－8a1＝8，所以a1＝－1， 则等比数列的通项公式an＝－(－2)n－1，所以a7＝－(－2)6＝－64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 A.9 B.10 C.11 D.12 √ 所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4， 若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.等比数列{an}的前三项分别是5，－15,45，则a5＝____. 所以a5＝a1q4＝405. 405 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________. ∵q>1，∴这三个数分别为4,8,16. 4,8,16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； 因为a4＝a1q3，所以8＝q3，解得q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 即26－n＝20，故n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①得a＝3. 所以9q4－82q2＋9＝0，令q2＝t(t>0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当q＝3时，此数列为1,3,9； 当q＝－3时，此数列为－1,3，－9； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18, 36,81}中，则q等于 ∵{an}中的项必然有正有负， ∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54, 81.∴q＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即a1q2＝a1＋2a1q， 即q2－2q－1＝0. 13.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等. … 记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值 为____. 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该等比数列{an}的公比为q， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝3或4时， 此时 取得最大值26， ∴a1a2·…·an的最大值为64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝________. ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 2n－1 ∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为a1＋1＝2. ∴an＋1＝2·2n－1＝2n. ∴an＝2n－1. 16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. (1)1，，，，，…. (2)1，－1,1，－1,1，…. (3)，－1,2，－4,8，…. B.－，2，－2，4 ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. 在数列②中，不一定都满足＝2； 在数列①中，≠，则①不是等比数列； ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∵＝－1≠＝2， 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， ·qx (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； 即q3＝－，解得q＝－. ∴an＝a5qn－5＝×n－5＝n－4. 则解得 ∴an＝a1qn－1＝(－8)×n－1＝n－4. 方法二　设等比数列的公比为q，则＝q3， 当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(舍去). 根据题意，有 解得q＝2或q＝. 方程两边分别相除，得＝. 由已知得 解得或 所以q＝±，a5＝a4q＝±. a12＝a1q11＝256×11＝－. 所以256q8＝1，解得q＝±. 当q＝时，a12＝a1q11＝256×11＝； 当q＝－时， 由题意得a1q2·a1q4＝18，即aq6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即aq10＝72. 两式相除得q4＝＝4，解得q＝±. 方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由题意得 解得或 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 方法二　设这四个数依次为－a，，a， 由题意得 解得或 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. 解得 则 所以这三个数依次为－，1，－. －，1，－ － 设这三个数分别为，a，aq， ，， 由＝q3＝－8，解得q＝－2. 1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为 A.± B.±2 C. D.－2 由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝. 所以该数列的通项公式为1×n－1＝(－1)2×(－1)n－1×n－1＝(－1)n＋1n－1. 2.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.(－1)nn－1 D.(－1)n＋1n－1 －为公比的等比数列， 解得或 根据题意得 因为a1a2a3a4a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，又am＝a1qm－1＝－qm－1， A.8 B. C.8或2 D.8或 因为a1＝5，q＝＝－3， 设这三个数依次为，a，aq， ∵＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝. 由·a·aq＝a3＝512，解得a＝8， a1＝＝＝5. 因为 由，得q＝，所以a1＝32. 又an＝1，所以32×n－1＝1， 设这三个数为，a，aq(公比为q)， 由已知得 将a＝3代入②得q2＋＝， 所以9t2－82t＋9＝0，解得t＝9或t＝. 所以q＝±3或q＝±. 当q＝时，此数列为9,3,1； 当q＝－时，此数列为－9,3，－1. － A.－ B. C.－ D. 12.已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列， 则等于 A.1＋ B.1－ C.3＋2 D.3－2 由题意知2×a3＝a1＋2a2， 解得q＝1＋或q＝1－(舍去). ＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2. ， ，， A. B. C. D. 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝. 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝. ∴即 解得 ∴a1a2·…·an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) 取得最小值－6， ∴＝2. 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， $$