1.2.2.1 等差数列的前n项和公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　 2.2　等差数列的前n项和 第1课时　 等差数列的前n项和公式 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. 学习目标 导语 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他 同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计 算出来的吗？ 一、等差数列前n项和的基本运算 二、等差数列前n项和的实际应用 课时对点练 三、Sn与an的关系 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的基本运算 一 问题1　唐朝诗人张南史的宝塔诗《花》原文如下： 花，花. 深浅，芬葩. 凝为雪，错为霞. 莺和蝶到，苑占宫遮. 已迷金谷路，频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，东家半落西家. 愿得春风相伴去，一攀一折向天涯. 这首诗每一行的字数有什么特点？全文共有多少字？ 提示　每一行的字数构成首项为2，公差为2的等差数列，共有2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(字). 提示　倒序相加法 问题2　对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝ ，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 知识梳理 8 注意点： (2)公式涉及a1，an，Sn，n，d 五个量.通常已知其中三个，可求其余两个. 知识梳理 9 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； 设等差数列{an}的公差为d， 10 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 11 等差数列前n项和公式应用的关注点 反思感悟 12 (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 反思感悟 13 跟踪训练1　已知等差数列{an}中， 14 (2)已知a14＝10，求S27. ∵a14＝10，a1＋a27＝2a14， 15 等差数列前n项和的实际应用 二 例2　返乡创业的大学生一直是人们比较关注的对象，他们从大学毕业，没有选择经济发达的大城市，而是回到自己的家乡，为养育自己的家乡贡献自己的力量.在享有“国际花园城市”称号的温江幸福田园，就有一个由大学毕业生创办的农家院“小时代”，其独特的装修风格和经营模式，引来无数人的关注，带来红红火火的现状，给青年大学生们就业创业上很多新的启示.在接受采访中，该老板谈起以下情况：初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，第n年需要付出房屋维护和工人工资等费用是首项为12，公差为4的等差数列{an}(单位：万元). (1)求an； 17 由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， ∴an＝12＋4(n－1)＝4n＋8(n∈N＋). 18 (2)该农家乐第几年开始盈利？能盈利几年？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) 设该农家乐第n年后的盈利为y万元， ＝－2n2＋40n－72， 由y>0，得n2－20n＋36<0， 解得2<n<18，n∈N＋， 故第3年开始盈利，能盈利15年. 19 应用等差数列解决实际问题的一般思路 反思感悟 20 跟踪训练2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 21 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元. 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 22 Sn与an的关系 三 问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ (2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ (3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？ 提示　能. 提示　不是. 提示　an＝Sn－Sn－1(n≥2). 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ ___，n＝1， ________，n≥2. S1 Sn- Sn－1 知识梳理 25 注意点： (1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示. 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式. 知识梳理 26 例3　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 27 ∵Sn＝2n2－3n－1， ① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1， ② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝4n－5， 经检验，当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 28 延伸探究　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1， 又a1＝5适合上式， ∴an＝4n＋1，n∈N＋. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4. 29 等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列. 反思感悟 30 跟踪训练3　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1. 当n＝1时，代入an＝2×3n－1得a1＝2≠3. 31 32 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2). ∴{bn}为以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N＋. 33 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列前n项和在实际问题中的应用. (3)由Sn与an的关系求an. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 A.12 B.13 C.14 D.15 √ ∴d＝a3－a2＝5－3＝2， ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13. 1 2 3 4 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 √ 1 2 3 4 由题意可知，九个儿子的年龄成公差为d＝－3的等差数列，且九项之和为207. 1 2 3 4 3.在各项均为正数的等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝___，n＝___. 3 5 1 2 3 4 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝____. 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 当n＝1时，a1＝2也适合an＝2n， 综上，an＝2n(n∈N＋). 2n 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则 A.an＝2n－5 B.an＝3n－10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的首项为a1，公差为d. 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d，由题意得 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为 A.24 B.26 C.25 D.28 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴n＝26. 设该等差数列为{an}， 由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21， an＋an－1＋an－2＋an－3＝67， 又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝21＋67＝88， ∴a1＋an＝22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面. A.18 B.19 C.20 D.21 √ 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列. 即4.90t2＝1 960，解得t＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为 A.765 B.665 C.763 D.663 √ ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100， ∴n<15， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝___，Sn的最小值为____. 设公差为d，由题意，a2＝a1＋d＝－3， 0 －10 解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0， 则当n＝4或5时，Sn最小为－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________. 3n2－2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(观察归纳法) 数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…； 数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，…. 观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则an＝1＋6(n－1)＝6n－5. ＝3n2－2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(引入参变量法) 令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm， 则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数. 令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…). at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5. 以下同方法一. 9.在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. 解得n＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ 设n min后相遇，依题意，有 整理得n2＋13n－140＝0， 解得n＝7或n＝－20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？ 设m min后第二次相遇， 整理得m2＋13m－6×70＝0， 解得m＝15或m＝－28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差数列前n项和公式可得 解得a1＝65. 由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为___. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75， 则数列 的前n项和Tn＝________. 设等差数列{an}的公差为d， ∵S7＝7，S15＝75， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)数列{an}的通项公式an＝______________. 4n－3(n∈N＋) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22， 又a3a4＝117， ∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根. 又公差d>0，∴a3<a4， ∴a3＝9，a4＝13. ∴an＝4n－3(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{bn}是等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0， 16.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 所以n2＋n－1 200≥0，记ƒ(n)＝n2＋n－1 200， 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 故最下面一层放35根，共堆了28层. ⇒ Sn＝ Sn＝na1＋d (1)当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. 则解得 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 因为Sn＝n·＋·＝－15， (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好. (2)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”的运用. (1)a1＝，S4＝20，求S6； S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3. 故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. ∴S27＝＝27a14＝270. 则y＝50n－－72 所以有S20＝×20＝1 105，即全部贷款付清后实际花费1 105＋150＝1 255(元). ＝2n2－3n－1－[22－3－1] 故an＝ ∴an＝ (2)已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式. ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1). 整理，得b－b－2bn－2bn－1＝0， 又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1， ∵S5＝＝5a3＝25，∴a3＝5， 故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35. 解得或(舍去). 由题意得 故 ∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27. 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于 A.27 B. C.45 D.－9 由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列， C.Sn＝n2－4n D.Sn＝n2－2n 由S4＝0，a5＝5可得 解得 Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n. 10a1＋×10×9d＝4， 3.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于 A. B.2 C. D.4 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d，所以＝. ∴Sn＝＝11n＝286， 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960， ∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. S5＝5a1＋d＝－10，即a1＋2d＝－2， Sn＝na1＋d＝＝2－， 故前n项和为Sn＝＝ ∴n＝15，d＝－. (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； 由题意得，Sn＝＝＝－5， 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－. 由已知得S8＝＝＝172， 2n＋＋5n＝70， 依题意有2m＋＋5m＝3×70， 由S13＝＝0， 8a1＋×17＝996， ∴a3·a8≤2≤2＝16.当且仅当a3＝a8＝4时取等号. S10＝＝＝40， ∴ n2－n 则Sn＝na1＋d. ∴即 解得 ∴＝a1＋d＝－2＋， ∴－＝， ∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为. ∴Tn＝n2－n. ∴∴ (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，则非零常数c＝________. － 由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n， 经检验，c＝－符合题意，∴c＝－. ∴b1＝，b2＝，b3＝. ∴bn＝＝. ∴c＝－或c＝0(舍去). 则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， $$