1.2.1.1 等差数列的概念与通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　 等差数列的概 念与通项公式 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 学习目标 导语 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？ 一、等差数列的概念 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等差数列的概念 一 问题1　(1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天 7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000，6 500,7 000,7 500, 8 000，8 500. (2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682,1758,1834,1910,1986，得到数列1 682,1 758,1 834,1 910,1 986. 以上两个数列有共同特征吗？ 提示　对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500，8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 对于数列(2)：1 758－1 682＝76，…，有同样的取值规律. 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第__项起，每一项与它的前一项的差都是同一个_____，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的_____，通常用字母d表示. 2 常数 公差 知识梳理 8 注意点： (1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋).公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒. (2)公差d可正可负可为零. 知识梳理 9 例1　(多选)下列命题中正确的是 A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C.数列{2n＋1}是等差数列 D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 √ A中，数列是公差为－2的等差数列； B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列； C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2为常数，是等差数列； D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列. √ 10 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数. 反思感悟 11 由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列； B项，d＝3，故是等差数列； C项，d＝ ，故是等差数列； D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是 A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 √ √ √ 12 等差数列的通项公式 二 问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为_______________. an＝a1＋(n－1)d 知识梳理 16 注意点： (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列 中任意两项的关系；也可以变形为d＝ (n≠m)，知道等差数列中任 意两项，可以求公差d. 知识梳理 17 例2　(1)求等差数列10,8,6，…的第20项； 由于a1＝10，d＝－2， ∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋. ∴a20＝－2×20＋12＝－28. 角度1　求项或项数 18 (2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 由于a1＝2，d＝7， ∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋. 由7n－5＝100，得n＝15. ∴100是这个等差数列的第15项. 19 例3　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式. 设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 角度2　求通项公式 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)×(－1)＝－15－n，n∈N＋. 20 延伸探究　本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋， 所以153是所给数列的第45项. 21 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量. (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项. (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项. 反思感悟 22 跟踪训练2　在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列的第43项. 23 (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 设{an}的公差为d， 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 24 等差数列的实际应用 三 例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？ 26 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2. 即需要支付车费23.2元. 27 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素. 反思感悟 28 跟踪训练3　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温. 29 设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋). ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 30 1.知识清单： (1)等差数列的概念、判定. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列通项公式的应用. 2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于 ∵a3＝5，a6＝8， √ 1 2 3 4 2.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于 A.－9 B.－8 C.－7 D.－4 √ ∵a6＝a4＋6， ∴2d＝a6－a4＝6， ∴d＝3. ∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B. 1 2 3 4 3.在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝_____. 因为a5＝11，d＝－2， 所以a1＋4×(－2)＝11，所以a1＝19， 所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. 令－2n＋21＝1，得n＝10. 10 1 2 3 4 4.等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________. a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. －4n＋1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列数列中，是等差数列的为 A.1,3,5,7,9 B.2,0，－2,0，－6,0，… √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为 A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1 √ 由题意得，(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于 A.15 B.22 C.7 D.29 √ 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 解得a1＝47，d＝－8. 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}满足a1＝5，an＋1＝an＋3，若an＝20，则n等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 在数列{an}中，因为an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，以3为公差的等差数列，于是得an＝a1＋(n－1)d＝3n＋2，由an＝20，即3n＋2＝20，解得n＝6，所以n等于6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是 该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得________斤？ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第____项. 由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2， 所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋， 令2n－7＝53，解得n＝30， 所以53是数列{an}中的第30项. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式. ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，n∈N＋. 方法二　由an＝am＋(n－m)d， 得a12＝a5＋(12－5)d， 又∵a5＝a1＋4d＝10，∴a1＝－2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明：数列{bn}是等差数列； 由已知an＋1＝2an＋2n， 即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n， an＝n·2n－1(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn} A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 解得d＝2. ∴an＝2n－11(n＝1,2，…)， Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11). 当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0， 故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.故数列{Tn}有最大项T4，无最小项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n∈N＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5 节的容积为____升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9， 由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4， 设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3， ① 3a1＋21d＝4， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝___. 易知an≠0， ∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)， 16.已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an＝3－5(n－1)＝8－5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N＋. 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)求数列{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1 ＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1＝－7，公差d′＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知m＝4n－1，n∈N＋， 所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. C.，，1，， D.－3，－2，－1,1,2 由已知得 解得 由已知得 解得 因为 解得 则解得 ∴d＝＝1. A. B.－ C.1 D.－1 C.，，，，… D.＋1，，－1 根据题意得 由题意得 A.d> B.d<3 C.≤d<3 D.<d≤3 解得<d≤3. A. B. C. D. 即解得d＝， 由题意得 所以每等人比下一等人多得斤金. 设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d⇔d＝＝＝＝－. － 方法一　由题意，知 解得 即d＝＝3. 得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1， 10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝. 又bn＝，所以数列{an}的通项公式为 由得 因为an＋1＝，则－＝1，又a1＝，则＝2，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以＝n＋1，所以an＝， 12.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a2 023等于 A. B. C. D. 则a2 023＝＝. ∵a－a＝4， 13.已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝______________ ________. ， ∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4， ∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 又an>0，∴an＝，n∈N＋. 由①②可得d＝，a1＝， 所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝. ∴－＝1(n≥2)， 故数列是等差数列，且公差为1，首项为1， ∴＝1＋9＝10，∴a10＝. $$