1.1.2 数列的函数特性 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 第一章　 §1　数列的概念及其函数特性 1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 2.了解数列的几种表示方法. 3.能从函数的观点研究数列. 学习目标 导语 2021年1月14日，海关总署发布最新数据显示：2020年我国货物贸易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长.当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势.阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？ 一、数列与函数的关系 二、数列的增减性 课时对点练 三、数列的最大(小)项 随堂演练 内容索引 数列与函数的关系 一 问题1　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象. 提示　对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列.图象如图. 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在_________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为_____________________，这个图象也称为数列的图象. 正整数集 (n，an)，n＝1,2,3，… 知识梳理 7 注意点： (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点. (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势. (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法. 知识梳理 8 例1　在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象. 列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，图象如图所示. 9 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的. 反思感悟 10 跟踪训练1　根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. (1)an＝(－1)n＋2； a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图1. 11 图象如图2. 12 数列的增减性 二 问题2　观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ (1)1,2,3,4,5,6； 提示　逐渐变大. (2)－1，－2，－3，－4，－5，－6. 提示　逐渐变小. 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都_____ an＋1＝an 大于 小于 相等 知识梳理 15 注意点： (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性. (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. 知识梳理 16 例2　已知数列{an}的通项公式是an＝ ，则该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 √ 对任意n∈N＋， ∵an＋1－an 角度1　数列增减性的判断 ∴数列{an}是递减数列. 17 延伸探究　本例若把数列{an}的通项公式改为an＝ (k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性. ∵k>0，n∈N＋，∴an>0， ∴an＋1<an， ∴{an}是递减数列. 18 例3　已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 A.(－∞，3] B.(－∞，4] C.(－∞，5) D.(－∞，6) √ 依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立，当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6). 角度2　利用数列的增减性求参数 19 数列增减性的两个关注点 (1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法. (2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围. 反思感悟 20 ∵{an}是递增数列， ∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0， ∴k>0. 跟踪训练2　已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是__________. (0，＋∞) 21 数列的最大(小)项 三 例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ 由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3， ∴数列中有两项是负数. 23 (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 24 又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二　设第n项最小， 25 解得2≤n≤3，∴n＝2,3， ∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 26 求数列{an}的最大项和最小项的方法 (1)数列或函数的单调性法. 反思感悟 27 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项. 设an是数列{an}中的最大项， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. 28 1.知识清单： (1)数列的表示方法. (2)数列的增减性的判断及应用. (3)求数列的最大(小)项. 2.方法归纳：图象法、转化与化归思想. 3.常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是 A.一条直线 B.一条抛物线 C.一个圆 D.一群孤立的点 √ ∵an＝3n－2，n∈N＋， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点. 1 2 3 4 2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 A.R B.(0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，0] √ ∵{an}是递减数列， ∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 1 2 3 4 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 数列{an}的通项公式是 故这个数列为递减数列. 1 2 3 4 4.数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是_____. an＝n2－6n＝(n－3)2－9， 所以当n＝3时，an取得最小值－9. －9 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ ∵an＋1－an＝3>0，∴数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1 C.an＝ D.an＝(－1)n √ 可以通过画数列的图象一一判断，B中，a1＝a2＝3，不是递减数列，D中数列是摆动数列. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 023等于 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 023＝x1＝2. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝ ，则数列{an}的最大项是 A.a1 B.a9 C.a10 D.不存在 √ ∴an＋1<an， ∴此数列为递减数列，故最大项为a1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是 A.该数列有无限个正数项 B.该数列有无限个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值 D.－70是该数列中的一项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(－1，＋∞) C.(－2，＋∞) D.(－3，＋∞) √ ∵an＋1>an，∴an＋1－an>0. 又an＝n2＋kn＋2， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0. ∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3， ∴k>－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.数列{－2n2＋9n＋3}，n∈N＋中，最大项的值为____. 由已知an＝－2n2＋9n＋3＝ 由于n为正整数，故当n取2时，an取到最大值13. ∴数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为a2＝13. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则数列{an}是____ 数列(填“递增”“递减”或“常”). 递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)， ∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. 图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)an＝n2－9n. a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20， a5＝－20. 图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列{an}为递减数列，理由如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0. 又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0， ∴an＋1－an<0， ∴数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得2<a<3. 结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an＝f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；②{an}是递增数列.写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：_______；写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的 解析式：________________________. f(x)＝x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)＝x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ∴当n≤7时，an＋1－an>0； 当n＝8时，an＋1－an＝0； 当n≥9时，an＋1－an<0. ∴a1<a2<…<a7<a8＝a9， a9>a10>a11>a12>…. 故数列{an}存在最大项， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴ － ＝－2n， ∵an>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作商比较， 又an>0，∴an＋1<an， 故数列{an}是递减数列. (2)an＝. a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. ＝<0， ＝－ ＝·＝<1. 方法一　∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5. 由n≥2且n∈N＋， 得 (2)不等式法：求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n，n≥2且n∈N＋. 则即 所以所以即9≤n≤10， an＝＝＝1＋， 所以an＋1－an＝－<0， 3.已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是 ∴an>0，＝<1， an ∵a1>0且an＋1＝an， 令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值.令－2n2＋13n＝－70，得n＝10或n＝－(舍去).即－70是该数列的第10项. －22＋. 8.已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋， ∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－ ＝－， a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2，a5＝2. (1)an＝； 10.已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由. an＋1－an＝－ ＝ ＝ ＝. ∵f(x)＝－2＋在[1，＋∞)上单调递减， ∵f(x)＝x＋在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，当x∈n(n∈N＋)时，f(n)min＝min{f(5)，f(6)}，又f(5)＝5＋＝，f(6)＝6＋＝，∴f(n)min＝，即an＝n＋的最小值为. 12.已知数列{an}满足an＝n＋，则数列{an}的最小值为 A. B. C.8 D.12 13.设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 A. B. C.(1,3) D.(2,3) 则应有 f(x)＝2(答案不唯一) 第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不单调递增，可写为f(x)＝2. 则这个函数在上单调递减，在上单调递增. ∴f(x)＝2在[1，＋∞)上不单调递增，不满足①. 而对应的数列为an＝2在n∈N＋上越来越大，属于递增数列，满足②. 15.已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为________. ∵an＋1－an＝n＋1(n＋2)－n(n＋1)＝n＋1·， 且最大项为a8＝a9＝. 解得an＝－n±. ∴an＝－n，n∈N＋. 即an－＝－2n(看成关于an的方程). ∴a＋2nan－1＝0， ∵＝ ＝<1， $$