2.2.1 导数的概念-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

2.1　导数的概念 [学习目标]　1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义． 导语 中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？ 一、导数的概念 问题1　一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？ 提示　8 m/s,14 m/s. 问题2　对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示　＝，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数． 知识梳理 导数的定义 (1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数． (2)记法：函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示， 记作f′(x0)＝ ＝ . 注意点： (1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 例1　设f(x)在x0处可导，则 等于(　　) A．－4f′(x0) B．f′(x0) C.f′(x0) D．4f′(x0) 答案　D 解析　 ＝4 ＝4f′(x0)． 反思感悟　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同． 跟踪训练1　已知 ＝1，则f′(x0)等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 答案　C 解析　∵ ＝1， ∴2 ＝2f′(x0)＝1， 所以f′(x0)＝. 二、求函数在某点处的导数 例2　求函数y＝f(x)＝在x＝2处的导数． 解　∵f(x)＝， ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1 ＝， ∴＝， ∴ ＝ ＝－1，∴f′(2)＝－1. 反思感悟　由导数的定义，可以得到求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 跟踪训练2　(1)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案　D 解析　因为＝ ＝＝－， 所以f′(m)＝ ＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. (2)函数y＝在x＝1处的导数是 ． 答案　 解析　∵Δy＝－1， ∴ ＝＝＝， ∴函数y＝在x＝1处的导数为. 三、导数在实际问题中的意义 例3　一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数s＝s(t)＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义． 解　＝ ＝＝－2(m/s)． 当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s， 导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度． 反思感悟　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义． 跟踪训练3　某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义． 解　f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW. 1.知识清单： (1)导数的概念． (2)求导数的一般步骤． (3)导数在实际问题中的意义． 2．方法归纳：极限思想． 3．常见误区：函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． 1．f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 答案　B 解析　f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 2．函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案　C 解析　由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数． 3．设函数y＝f(x)在R上可导，则 等于(　　) A．f′(1) B.f′(1) C．3f′(1) D．以上都不对 答案　B 解析　 ＝＝f′(1)． 4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝ . 答案　1 解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a， ∴ ＝2a，∴a＝f′(1)＝1. 1．(多选)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关 的值的说法中不正确的是(　　) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关 C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0，h均无关 答案　ACD 解析　导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关． 2．已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案　B 解析　由题意，知f′(3)＝ ＝－2. 3．汽车在笔直的公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，的意义是(　　) A．表示当t＝t0时汽车的加速度 B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离 答案　A 解析　由于v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，＝表示当t＝t0时汽车的加速度． 4．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为(　　) A．0 B．3 C．－2 D．3－2t 答案　B 解析　当t＝0时的瞬时速度，即为初速度，故初速度为 ＝ (3－Δt)＝3. 5．若y＝f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．3 答案　C 解析　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， ∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x， 由f′(x0)＝3，得3x＝3， ∴x0＝±1. 6．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案　C 解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1. 7．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为 ． 答案　16 解析　∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. ∴f′(3)＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. 8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝ . 答案　9 解析　由题知－8＝ ＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2， 所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. 9．已知某产品的总成本函数为C＝Q2＋2Q，总成本函数在Q0处的导数C′(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(500)并说明它的实际意义． 解　设Q＝500时，产量的改变量为ΔQ， ＝ ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝ (ΔQ＋1 002)＝1 002， 即产量为500时的边际成本为1 002， 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1 002. 10．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系． 解　设f(－x)＝g(x)， 则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是 g′(a)＝ ＝ ， 而f′(－a)＝ ， 令x＝－t，则当x→－a时，t→a， ∴f′(－a)＝ ＝－ ＝－g′(a)， 这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数． 11．若函数f(x)可导，则 等于(　　) A．－2f′(1) B.f′(1) C．－f′(1) D．f′ 答案　C 解析　 ＝－ ＝－f′(1)． 12．设函数f(x)＝，则 等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0， ∴ ＝ ＝ ＝－. 13．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 ＝ . 答案　－22 解析　 ＝－2 ＝－2f′(x0)＝－22. 14．在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(单位：rad)满足函数φ(t)＝4t－0.3t2.则 (1)当t＝2 s时，飞轮转过的角度为 rad； (2)飞轮停止旋转的时刻为 s. 答案　(1)6.8　(2) 解析　(1)当t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2) ＝8－1.2＝6.8(rad)． (2)φ′(t)＝ ＝ ＝ ＝ (4－0.3Δt－0.6t)＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0. 所以令4－0.6t＝0，得t＝， 所以在t＝ s时，飞轮停止旋转． 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ． 答案　2 解析　由导数的定义，得f′(0)＝ ＝ ＝ (aΔx＋b)＝b>0. 又 ∴ac≥， ∴c>0. ∴＝≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立． ∴的最小值为2. 16．(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值； (2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值． 解　(1)∵f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝ (－8＋2x0＋Δx)＝－8＋2x0＝4， ∴x0＝3. (2)∵f′(0)＝ ＝ ＝ ＝ [Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)， ∴f′(0)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$