第1章 再练1课(范围：§1～§5)-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

再练一课(范围：§1～§5) 一、单项选择题 1．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为a5＝(－1)5×＝－. 2．等差数列18,15,12，…的前n项和的最大值为(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 答案　B 解析　由题意知，数列的通项公式为an＝21－3n，令an＝0，得n＝7，所以Sn的最大值为S7＝S6＝＝63. 3．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a9＝a10，则等于(　　) A. B. C．9 D．5 答案　B 解析　因为a1＋a9＝a10，所以a10＝2a5，又因为公差d≠0，所以a10≠a5，所以a5≠0，所以 ＝＝＝. 4．如果将2,5,10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意得(5＋t)2＝(2＋t)(10＋t)， 解得t＝2.5，所以公比q＝＝. 5．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为______元．(不包括a元的投资)(　　) A．4a(1.06n－1) B．a(1.06n－1) C．0.24a(1＋6%)n－1 D．4(1.06n－1) 答案　A 解析　设n年后他拥有的红利与利息之和为an元．则 a1＝a·24%＝0.24a； a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06； a3＝a·24%＋a2·1.06＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062； … an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n－1)＝0.24a·＝4a(1.06n－1)． 6．数列1,2＋，3＋＋，…，n＋＋＋…＋的前n项和为(　　) A．n＋1－n－1 B.n2＋n＋－2 C.n2＋n＋－2 D．n＋－1 答案　B 解析　设数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，也适合n＝1，故an＝n＋1－，n∈N＋. ∴该数列的前n项和 Sn＝＋＋＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－ ＝＋n－＝n2＋n＋－2. 二、多项选择题 7．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是(　　) A．若a3>0，则a2 023>0 B．若a4>0，则a2 024>0 C．若a3>0，则S2 023>0 D．若a3>0，则S2 023<0 答案　ABC 解析　设数列{an}的公比为q， 当a3>0时，a2 023＝a3q2 020>0，故A正确； 当a4>0时，a2 024＝a4·q2 020>0，故B正确； 又当q≠1时，S2 023＝， 当q<0时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0， 当0<q<1时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0， 当q>1时，1－q<0,1－q2 023<0，∴S2 023>0. 当q＝1时，S2 023＝2 023a1＝2 023a3>0， 故C正确，D不正确． 8.如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则(　　) A．S5＝35 B．an＋1－an＝n C．an＝ D.＋＋＋…＋＝ 答案　ACD 解析　依题意可知an＋1－an＝n＋1，an＋1＝an＋n＋1，B选项错误； a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋3＝6，a4＝6＋4＝10，a5＝10＋5＝15， S5＝1＋3＋6＋10＋15＝35，A选项正确； an＋1－an＝n＋1，an－an－1＝n(n≥2)， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，C选项正确； ＝＝2×， ＋＋＋…＋ ＝2× ＝2×＝，D选项正确． 三、填空题 9．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝________. 答案　60 解析　由a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，得a6＝30， 所以a3＋a9＝2a6＝60. 10．已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝________. 答案　 解析　由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n. 因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n) ＝2＋＝(n≥2)． 因为a1＝2满足上式，所以an＝. 11．数列{an}的前n项和为Sn＝n2－6n，则a2＝________，数列{|an|}的前10项和|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________. 答案　－3　58 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7， 所以a2＝2×2－7＝－3， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋×7＝58. 12．某电脑公司计划在2024年10月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司10月1日至10月10日的平均日销售量是________台． 答案　16 解析　设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售(a－2)台，第三个10天每天销售(a－4)台，第四个10天每天销售(a－6)台，由题意得，10a＋10(a－2)＋10(a－4)＋8(a－6)＝500，解得a＝16. 四、解答题 13．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解　(1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N＋. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n. 14．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； (2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，n∈N＋，有an≥n＋2. (1)解　由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5， 由此猜想an的一个通项公式为 an＝n＋1(n≥1，n∈N＋)． (2)证明　①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 即ak≥k＋2， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1>k＋3 ＝(k＋1)＋2. 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，对任意的n≥1，n∈N＋， 都有an≥n＋2. 15．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意可知，a1a4＝a2a3＝8， 又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)． 由a4＝a1q3，得q＝2， 故an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N＋)． (2)Sn＝＝＝2n－1， 又bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－ ＝1－. 学科网（北京）股份有限公司 $$