1.5.1 数学归纳法-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第1课时　数学归纳法 [学习目标]　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明简单的数学命题． 导语 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！ 第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？ 一、数学归纳法的理解 问题　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ 提示　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． 知识梳理 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 注意点： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 例1　(1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　C 解析　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3. (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，在n＝k时的左端应加上_______． 答案　(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析　n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2， n＝k＋1时， 左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 反思感悟　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1， 则当n＝k＋1时， ＝＜ ＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法． 二、利用数学归纳法证明等式 例2　证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． 延伸探究　本例等式若改为＋＋…＋＝.试用数学归纳法证明． 证明　(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 那么当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 反思感悟　用数学归纳法证明等式的方法 跟踪训练2　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝＋＋…＋＋＋， ＝＋＋…＋. 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立． 三、归纳—猜想—证明 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解　(1)a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…， 猜想：an＝. 证明：①当n＝1时， 左边＝a1＝， 右边＝＝，左边＝右边，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即ak＝， 那么当n＝k＋1时，由an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)·＝. Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－， 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知，猜想an＝对任何n∈N＋都成立． 反思感悟　“归纳—猜想—证明”的解题步骤 跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明． 解　S1＝a1＝－， S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－， S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－， S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 猜想：Sn＝－(n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－， 右边＝－＝－. ∵左边＝右边，∴原等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立， 即Sk＝－成立，则当n＝k＋1时，由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得 ＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，原等式也成立． 综合(1)(2)得，对一切n∈N＋，Sn＝－都成立． 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)用数学归纳法证明等式． (3)“归纳—猜想—证明”问题． 2．方法归纳：数学归纳法． 3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错． 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证当n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　D 解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 2．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加(　　) A. B．π C. D．2π 答案　B 解析　如图， 由n＝k到n＝k＋1时， 凸n边形的内角和增加∠1＋∠2＋∠3＝π. 3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 答案　C 解析　因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为______________________________________________． 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 解析　当n＝k＋1时， 表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2， 则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　D 解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，k∈N＋)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为n为正偶数， 所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…， 可推测an＝. 4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值等于(　　) A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3 答案　D 解析　当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11，① 当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.② 由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合． 5．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1. 7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1， 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以当n＝k＋1时等式成立． 由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________． 答案　没有用上归纳假设进行递推 解析　当n＝k＋1时正确的解法是， 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1， 即上述证明的错误是没有用上归纳假设进行递推． 8．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_______________． 答案　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 解析　因为f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 所以f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 9．用数学归纳法证明：…＝(n≥2，n∈N＋)． 证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝， 右边＝＝，∴左边＝右边． ∴当n＝2时等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立， 即…＝. 那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有 … ＝＝· ＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立． 10．设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． (1)解　因为a1＝1，an＋1＝f(an)， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋)． (2)证明　①易知当n＝1时，结论成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②知，对一切n∈N＋，都有an＝. 11．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案　AD 解析　由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 12．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3×…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是(　　) A．2k＋2 B．(2k＋1)(2k＋2) C. D. 答案　D 解析　当n＝k时，(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1×3×…·(2k－1)；当n＝k＋1时，(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝2k＋1·1×3×…·[2(k＋1)－1]．通过对比可知，增加了两项(2k＋1)，(2k＋2)，减少了一项(k＋1)． 13．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________. 答案　＋＋…＋ 解析　f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋，∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，那么a＝________，b＝________，c＝________. 答案　　　 解析　把n＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c， 可得 整理并解得 15．用数学归纳法证明当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1需增添的项是________________． 答案　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 解析　当n＝1时，原式＝1＋2＋22＋…＋25×1－1 ＝1＋2＋22＋23＋24； 1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k－1)＝25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4. 16．设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值； (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明． 解　(1)令x＝y＝0， 得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. (3)由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$