1.2.1.3 等差数列的综合问题-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第3课时　等差数列的综合问题 [学习目标]　1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解.2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列.3.学会解决与等差数列有关的综合问题． 一、等差数列的判定与证明 例1　已知函数f(x)＝(x≠0)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x100. (1)证明　xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)， 所以＝＝＋， －＝(n≥2，n∈N＋)． 所以是等差数列． (2)解　由(1)知的公差为. 又因为x1＝，即＝2. 所以＝2＋(n－1)×， ＝2＋(100－1)×＝35. 所以x100＝. 反思感悟　判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 跟踪训练1　(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证明　因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c， 所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)， 所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列． (2)判断下列数列是否为等差数列： ①an＝3n－1； ②an＝ 解　①通项公式an＝3n－1是关于n的一次函数，所以这个数列是等差数列． ②由通项公式an＝知a1＝1，a2＝1，a3＝2. 显然an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立． 但a2－a1≠a3－a2，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差才是同一个常数，所以该数列不是等差数列． 二、等差数列项的设法及运算 例2　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 则 又因为是递增数列，所以d>0， 解得 所以此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 延伸探究　本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解　方法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 由已知，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，所以所求的四个数为－2,0,2,4. 方法二　设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 由已知，得2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得＝－8， 即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或－2. 又四个数成递增等差数列， 所以d>0，所以d＝2， 所以所求的四个数为－2,0,2,4. 反思感悟　三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量． 跟踪训练2　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式． 解　方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 即 解得或 因为数列{an}为单调递增数列， 所以 从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1，n∈N＋. 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a－d，a，a＋d， 则 即 解得或 由于数列{an}为单调递增数列，因此 从而an＝4n－1，n∈N＋. 三、等差数列的综合问题 例3　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)． (1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项． (1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)， 所以an－1＝， 所以＝＝1＋， 即－＝1. 因为bn＝， 所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N＋)． 又a1＝，b1＝＝－， 所以数列{bn}是以b1＝－为首项，1为公差的等差数列． 故bn＝－＋(n－1)×1＝n－(n∈N＋)． (2)解　由(1)得an＝＋1＝1＋， 当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1. 又a1＝，a2＝－2，a3＝， 所以在数列{an}中，最大项为a3＝，最小项为a2＝－2. 反思感悟　解决等差数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项． (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组)． (3)利用函数或不等式的有关方法解决． 跟踪训练3　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由． 解　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2， 所以λ＝， 所以a3＝－a2＋22＝. (2)因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n， 所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4， a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2， 即λ2－7λ＋13＝0. 因为Δ＝49－4×13<0，所以方程无实数解， 所以λ的值不存在， 所以不存在λ的值使{an}为等差数列． 1.知识清单： (1)等差数列的判定方法． (2)等差数列项的设法与运算． (3)等差数列的综合问题． 2．方法归纳：定义法、通项公式法、中项法． 3．常见误区： (1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件． (2)四个数成等差数列时错误设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d. 1．如果一个数列的前三项分别为1,2,3，下列结论中正确的是(　　) A．它一定是等差数列 B．它一定是递增数列 C．通项公式是an＝n D．以上结论都不一定正确 答案　D 解析　选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合． 2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　) A．a6 B．a7 C．a8 D．a9 答案　B 解析　因为3a3＝4a4， 所以3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d， 所以a3＝－4d， 所以an＝a3＋(n－3)d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，所以a7＝0. 3．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1－2an＝4，则a2 023的值为________． 答案　4 045 解析　由题意，知数列{an}满足2an＋1－2an＝4，即an＋1－an＝2，又由a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 023＝1＋2 022×2＝4 045. 4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为________． 答案　12 解析　设三边长为a－d，a，a＋d(a＞d＞0)， 则 ⇒⇒a2＝48. ∵a＞0， ∴a＝4， 周长为C＝a－d＋a＋a＋d＝3a＝12. 1．等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　d＝＝. 2．在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 012＝1，则该数列中a1＋a2 023等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 012＝1，所以a1＋a2 023＝2a1 012＝2. 3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 答案　D 解析　∵a1＋a15＝2a8， ∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝120. ∴a8＝24. 而3a9－a11＝3(a8＋d)－(a8＋3d)＝2a8＝48. 4．(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为(　　) A．－17 B．－13 C．19 D．23 答案　BC 解析　设这个数列的前三项分别为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3. 而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2. ∴所求数列的通项公式为an＝2n－1或an＝－2n＋7.∴a10＝19或a10＝－13. 5．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 答案　BCD 解析　设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，故B为常数列，也是等差数列；pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故C为等差数列；2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故D为等差数列；A未必是等差数列，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，故{|an|}不一定是等差数列． 6．(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离： 时间/s 1 2 3 … … 60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … 根据表格提供数据，下列判断正确的是(　　) A．甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型 B．甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t＋9.8(t∈N＋，t≤60) C．甲虫爬行49 cm需要5 s D．甲虫1 min能爬597.8 cm 答案　AC 解析　以1,2,3，…，60为数列{an}的序号，9.8，19.6，29.4，…为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8， ∴可建立等差数列模型．∵a1＝9.8，d＝9.8， ∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t(t∈N＋，t≤60)．当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．当s＝49 cm时，t＝＝＝5(s)． 7．在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋(n∈N＋)，则a50＝________. 答案　 解析　已知条件可化为－＝(n∈N＋)．由等差数列的定义，知是首项为＝1，公差为d＝的等差数列，所以＝1＋(50－1)×＝，所以a50＝. 8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为________________． 答案　2,5,8,11或11,8,5,2. 解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 ⇒ 解得或 ∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 9．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明　因为，，成等差数列， 所以＝＋， 即2ac＝b(a＋c)． 因为＋＝ ＝＝ ＝＝， 所以，，成等差数列． 10．已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由． 解　(1)由题意知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝2. 又a2a4＝，数列{an}单调递减， ∴a4＝，a2＝. ∴公差d＝＝－， ∴a1＝a2－d＝2， ∴an＝2＋(n－1)·＝－n＋. (2)由(1)知a1an＝2an， 则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)， ∴数列{a1an}是等差数列，且公差为－1. 11．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由题意可知，m≠0， 若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立， 所以m<0， 则公差d＝＝， 所以m＝cos＝－. 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 答案　B 解析　设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺， 由已知得 解得 所以第十四日所织尺数为a14＝a1＋13d＝1＋13×1＝14. 13．设数列{an}是等差数列，bn＝，又因为b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，则通项公式an＝________. 答案　2n－3或－2n＋5 解析　因为b1b2b3＝，bn＝， 所以＝， 所以＝，所以a1＋a2＋a3＝3， 又因为{an}成等差数列，所以a2＝1，a1＋a3＝2， 所以b1b3＝，b1＋b3＝， 所以或 即或 所以an＝2n－3或an＝－2n＋5. 14．在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列． 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是______． 答案　n2＋n 解析　观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n. 15．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　) A．－10 B．－12 C．－14 D．－16 答案　B 解析　根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，若a3＋a7＝36，a4a6＝275，则(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝36，(a1＋3d)(a1＋5d)＝275， 解得或 则数列{an}的通项为an＝7n－17或an＝－7n＋53， 当an＝7n－17时，anan＋1＝(7n－17)(7n－10) ＝49＝492－， 分析可得当n＝2时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12；当an＝－7n＋53时， anan＋1＝(－7n＋53)(－7n＋46) ＝(7n－53)(7n－46)＝49， 因为＝≈7.07， 分析可得当n＝7时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12，即anan＋1有最小值－12. 16．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解　数列5,8,11，…记为{an}，数列3,7,11，…记为{bm}， 则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2， bm＝3＋(m－1)·4＝4m－1. 令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数， 记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝·3k－1＝4k－1. ∵4k－1≤100，∴k≤，且k∈N＋， ∴1≤k≤25. ∴两数列共有25个相同的项． 学科网（北京）股份有限公司 $$