1.1.2 数列的函数特性-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 [学习目标]　1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列． 导语 2021年1月14日，海关总署发布最新数据显示：2020年我国货物贸易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长．当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势．阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？ 一、数列与函数的关系 问题1　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象． 提示　对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列．图象如图． 知识梳理 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1,2,3，…，这个图象也称为数列的图象． 注意点： (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点． (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势． (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法． 例1　在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象． 解　列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，图象如图所示． 反思感悟　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 跟踪训练1　根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 解　(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图1. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 图象如图2. 二、数列的增减性 问题2　观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ (1)1,2,3,4,5,6； (2)－1，－2，－3，－4，－5，－6. 提示　(1)逐渐变大．(2)逐渐变小． 知识梳理 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都相等 an＋1＝an 注意点： (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性． (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 角度1　数列增减性的判断 例2　已知数列{an}的通项公式是an＝，则该数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 答案　B 解析　对任意n∈N＋， ∵an＋1－an ＝－ ＝<0， ∴数列{an}是递减数列． 延伸探究　本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性． 解　＝·＝<1. ∵k>0，n∈N＋，∴an>0， ∴an＋1<an， ∴{an}是递减数列． 角度2　利用数列的增减性求参数 例3　已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，6) 答案　D 解析　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立，当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 反思感悟　数列增减性的两个关注点 (1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法． (2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围． 跟踪训练2　已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________． 答案　(0，＋∞) 解析　∵{an}是递增数列， ∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0， ∴k>0. 三、数列的最大(小)项 例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3， ∴数列中有两项是负数． (2)方法一　∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二　设第n项最小， 由n≥2且n∈N＋， 得 解得2≤n≤3，∴n＝2,3， ∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 反思感悟　求数列{an}的最大项和最小项的方法 (1)数列或函数的单调性法． (2)不等式法：求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n，n≥2且n∈N＋. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项． 解　设an是数列{an}中的最大项， 则即 所以所以即9≤n≤10， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. 1.知识清单： (1)数列的表示方法． (2)数列的增减性的判断及应用． (3)求数列的最大(小)项． 2．方法归纳：图象法、转化与化归思想． 3．常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错． 1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　) A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 答案　D 解析　∵an＝3n－2，n∈N＋， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点． 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 答案　C 解析　∵{an}是递减数列， ∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 3．已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　B 解析　数列{an}的通项公式是 an＝＝＝1＋， 所以an＋1－an＝－<0， 故这个数列为递减数列． 4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________． 答案　－9 解析　an＝n2－6n＝(n－3)2－9， 所以当n＝3时，an取得最小值－9. 1．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　A 解析　∵an＋1－an＝3>0，∴数列{an}是递增数列． 2．(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　) A．an＝－2n＋1 B．an＝－n2＋3n＋1 C．an＝ D．an＝(－1)n 答案　AC 解析　可以通过画数列的图象一一判断，B中，a1＝a2＝3，不是递减数列，D中数列是摆动数列． 3．函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 023等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B．2 C．4 D．5 答案　B 解析　根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 023＝x1＝2. 4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　) A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在 答案　A 解析　∵a1>0且an＋1＝an， ∴an>0，＝<1， ∴an＋1<an， ∴此数列为递减数列，故最大项为a1. 5．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是(　　) A．该数列有无限个正数项 B．该数列有无限个负数项 C．该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值 D．－70是该数列中的一项 答案　BD 解析　令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项．当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值．令－2n2＋13n＝－70，得n＝10或n＝－(舍去)．即－70是该数列的第10项． 6．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 答案　D 解析　∵an＋1>an，∴an＋1－an>0. 又an＝n2＋kn＋2， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0. ∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3， ∴k>－3. 7．数列{－2n2＋9n＋3}，n∈N＋中，最大项的值为________． 答案　13 解析　由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋.由于n为正整数，故当n取2时，an取到最大值13. ∴数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为a2＝13. 8．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋，则数列{an}是________数列(填“递增”“递减”或“常”)． 答案　递增 解析　∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－ ＝－， 又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)， ∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列． 9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝；(2)an＝n2－9n. 解　(1)a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2，a5＝2. 图象如图所示． (2)a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20， a5＝－20. 图象如图所示． 10．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由． 解　数列{an}为递减数列，理由如下： an＋1－an＝－ ＝ ＝ ＝. ∵f(x)＝－2＋在[1，＋∞)上单调递减， ∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0. 又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0， ∴an＋1－an<0， ∴数列{an}是递减数列． 11．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是(　　) 答案　A 解析　根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. 12．已知数列{an}满足an＝n＋，则数列{an}的最小值为(　　) A. B. C．8 D．12 答案　A 解析　∵f(x)＝x＋在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，当x∈n(n∈N＋)时，f(n)min＝min{f(5)，f(6)}，又f(5)＝5＋＝，f(6)＝6＋＝，∴f(n)min＝，即an＝n＋的最小值为. 13．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(1,3) D．(2,3) 答案　D 解析　结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列， 则应有 解得2<a<3. 14．已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an＝f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；②{an}是递增数列．写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：_______；写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式：___________________. 答案　f(x)＝x f(x)＝2(答案不唯一) 解析　由题意可知，在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)＝x. 第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不单调递增，可写为f(x)＝2. 则这个函数在上单调递减，在上单调递增． ∴f(x)＝2在[1，＋∞)上不单调递增，不满足①. 而对应的数列为an＝2在n∈N＋上越来越大，属于递增数列，满足②. 15．已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为________． 答案　 解析　∵an＋1－an＝n＋1(n＋2)－n(n＋1)＝n＋1·， ∴当n≤7时，an＋1－an>0； 当n＝8时，an＋1－an＝0； 当n≥9时，an＋1－an<0. ∴a1<a2<…<a7<a8＝a9， a9>a10>a11>a12>…. 故数列{an}存在最大项， 且最大项为a8＝a9＝. 16．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列． (1)解　∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴－＝－2n， 即an－＝－2n(看成关于an的方程)． ∴a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±. ∵an>0， ∴an＝－n，n∈N＋. (2)证明　作商比较， ∵＝ ＝<1， 又an>0，∴an＋1<an， 故数列{an}是递减数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$