2025年中考数学压轴解答题专项集训：分式方程

分式方程 一．解答题（共25小题） 1．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为　 　元； （2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 2．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？ 3．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ 4．某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费8700元，乙、丙队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费9500元，甲、丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费5500元． （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程，各需多少天． （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，则由哪个队单独完成此项工程所需的费用最少？请说明理由． 5．某公司向甲、乙两所中学送水，每次送往甲中学7600升，乙中学4000升．已知人均送水量相同，甲中学师生人数是乙中学的2倍少20人． （1）求这两所中学师生人数分别是多少人？ （2）若送瓶装水，价格为1元/升；若用消防车送饮用水，不需购买，但需配送水塔，容量500升的水塔售价为520元/个，其它费用不计．请问这次乙中学用瓶装水花费少还是饮用消防车送水花费少？ 6．某商家预测一种运动衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种运动衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种运动衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价贵了10元． （1）求该商家购进的第二批运动衫是多少件？ （2）若两批运动衫都按每件150元的价格销售，则这两批运动衫全部售完后的利润是多少元？ 7．松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． （1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ （2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案． 8．我校在开学前去商场购进A，B两种品牌的乒乓球拍，购买A品牌球拍共花费1800元，购买B品牌球拍共花费700元，且购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，已知购买一副B品牌球拍比购买一副A品牌球拍多花5元． （1）求购买一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？ （2）为了进一步发展“校园乒乓球”，学校在开学后再次购进了A，B两种品牌的球拍，每种品牌的球拍都不少于16副，在购买时，商场对两种品牌的球拍的销售单价进行了调整，A品牌球拍销售单价比第一次购买时提高了5%，B品牌球拍按第一次购买时销售单价的6折出售且总花费恰好为903元，那么此次有哪些购买方案？ 9．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 10．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x2的解为x1＝2，x2； 方程x3的解为x1＝3，x2； 方程x4的解为x1＝4，x2； … （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x6的解是 　 　； （2）根据上面的规律，猜想关于x的方程xa的解是 　 　； （3）由（2）可知，在解方程：y时，可以变形转化为xa的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． （4）利用（2）的结论解方程：． 11．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ （2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？ 12．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 13．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 14．为全力助推九龙华岩板块建设，大力发展美丽的新华岩，现招标建设某全长480米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用8天， （1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度． （2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多7天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过7天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则A队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？ 15．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程1的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　 　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程1无解．直接写出n的取值范围． 16．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ 17．京九铁路是1992年10月全线开工，1996年9月1日建成通车，是中国一次性建成双线线路最长的一项宏伟铁路工程．其中北京﹣商丘段全长约800千米，京九铁路的通车使商丘成为河南省仅次于郑州的第二大枢纽城市，为商丘提供了发展的机遇．京雄商高铁的预设平均速度将是老京九铁路速度的3倍，可以提前5.8个小时从北京到达商丘，求京雄高铁的平均速度． 18．列方程解应用题 北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权，近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，铁路全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求京张高铁列车的平均行驶速度． 19．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元． （1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价； （2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵． 20．为了改善教室空气环境，某校九年级1班班委会计划到朝阳花卉基地购买绿植．已知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是12元．班委会决定用60元购买绿萝，用90元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍． （1）分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格； （2）该校九年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计90盆，其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，该基地特地对吊兰价格给出了如下的优惠政策，一次性购买的吊兰超过20盆时，超过部分的吊兰每盆的价格打8折，根据该基地的优惠信息，九年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？最少费用是多少元？ 21．某学校要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？ （1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示　 　；y表示　 　． （2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同． 22．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元． （1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？ 23．哈市地铁3号线是哈市唯一一条环线，3号线共分两期建设，一期工程已于2017年1月26日载客试运行，二期工程正在建设中，甲、乙两工程队提交了建设投标方案，若独立完成该项目，甲队所用的时间是乙队所用时间的1.5倍，若两队合作完成该项目，则共需72天． （1）甲、乙两队单独完成该建筑工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该公司派一名技术人员到现场全程监督，每天补助100元，若由甲队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了保障工程质量、缩短工期，该工程选择由乙程队完成，但要求施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天施工费用最多是多少万元？ 24．大泽山是我国著名的葡萄产地，被命名为“中国葡萄之乡”，“西有吐鲁番，东有大泽山”．大泽山葡萄以其皮薄、肉嫩、味香饮誉海内外．在“全国农业标准化示范区”建设中，新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种葡萄苗每株的价格． （2）小明家准备从甲、乙两种葡萄苗中选购买一种葡萄苗，已知购买数量相同且数量不少于500株，因为购买数量较多，苗圃可给予以下优惠：购买甲种葡萄苗每株按原售价9折优惠；购买乙种葡萄苗，500株按原售价付款不优惠，超过500株每株按原售价5折优惠．请帮助小明家判断购买哪种葡萄苗更省钱． （3）小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株．调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？ 25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50%销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． （3）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 分式方程 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为　1　元； （2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】计算题；应用题；分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到结果； （3）根据题意表示出甲乙两商场提价后的价格，比较即可得到结果． 【解答】解：（1）1.25÷（1+25%）＝1（元）； 故答案为：1； （2）设该商品在乙商场的原价为x元， 根据题意得：10， 解得：x＝1或x＝5， 经检验：x＝1与x＝5满足方程，符合实际， 答：该商品在乙商场的原价为1元或5元； （3）若原价为1元，则 甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）＝1+a+b+ab． 乙商场两次提价后的价格为：（1）2＝1+a+b+（）2， ∵（）2﹣ab＝（）2＞0， ∴乙商场两次提价后价格较多； 若原价为5元，同理可得乙商场两次提价后价格较多． 【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 2．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：1，解出即可，要检验； （2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天， 依题意得：1， 解得x＝20， 检验，当x＝20时，3x≠0， 所以原方程的解为x＝20． 所以3x＝3×20＝60（天）． 答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天； （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 则有y（）＝1， 解得y＝15． 需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）． ∵510＞500， ∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”． 3．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额90万元与今年销售额80万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）关系式为：99＜A款汽车总价+B款汽车总价＜105． 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得： ， 解得：x＝8， 经检验知，x＝8是原方程的解． 所以今年5月份A款汽车每辆售价8万元； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进（15﹣y）辆．根据题意得： ， 解得：6＜y＜10， 所以有3种方案： 方案一：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆； 方案二：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆； 方案三：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 4．某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费8700元，乙、丙队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费9500元，甲、丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费5500元． （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程，各需多少天． （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，则由哪个队单独完成此项工程所需的费用最少？请说明理由． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】工程问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）本题的相等关系有三个：“由甲、乙两队合作6天完成”和“乙、丙队合作10天完成”“甲、丙两队合作5天完成全部工程的”．考虑到问题要求的是规定的工期，设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天根据题意列出方程组解答． （2）等量关系为：甲乙两队一天的工程费×6＝8700；乙、丙两队一天的工程费×10＝9500；甲、丙两队一天的工程费×5＝5500．算出每队一天的工程费；根据工期选择相应的队，再比较总价钱即可． 【解答】解：（1）设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天． 根据题意，得： 解得：x＝10，y＝15，z＝30． 经检验：x＝10，y＝15，z＝30是原方程的解，且符合题意． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天、15天、30天． （2）设甲、乙、丙各队工作一天，厂家需付报酬分别为a元、b元、c元． 根据题意得：解得． 丙队工作30天首先排除； 甲队完成项目所需费用为ax＝8000元； 乙队完成项目所需费用为by＝650×15＝9750元． 答：甲队单独完成此项工程所需的费用最少． 【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．问题3中的两个“如期完成”就是一个隐含条件． 5．某公司向甲、乙两所中学送水，每次送往甲中学7600升，乙中学4000升．已知人均送水量相同，甲中学师生人数是乙中学的2倍少20人． （1）求这两所中学师生人数分别是多少人？ （2）若送瓶装水，价格为1元/升；若用消防车送饮用水，不需购买，但需配送水塔，容量500升的水塔售价为520元/个，其它费用不计．请问这次乙中学用瓶装水花费少还是饮用消防车送水花费少？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）此题首先依据题意得出等量关系即人均送水量相同，从而列出方程为，解出方程检验并作答． （2）依题意可得送瓶装水的费用为：4000×1＝4000（元），送饮用泉水的费用为：520＝4160（元）． 【解答】解：（1）设乙中学有师生x人，则甲中学有师生（2x﹣20）人，依题意，得， 解这个方程，得 x＝200， 经检验x＝200是原方程的解， ∴2x﹣20＝380， ∴甲中学有师生380人，乙中学有师生200人； （2）乙中学饮用瓶装水的费用为：4000×1＝4000（元）， 饮用消防车送水的费用为：4000÷500×520＝4160（元）， 4000＜4160， 所以，这次乙中学饮用瓶装水花费少． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 6．某商家预测一种运动衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种运动衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种运动衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价贵了10元． （1）求该商家购进的第二批运动衫是多少件？ （2）若两批运动衫都按每件150元的价格销售，则这两批运动衫全部售完后的利润是多少元？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）该商家购进的第一批运动衫是120件； （2）两批运动衫全部售完后的利润是15600元． 【分析】（1）设第一批运动衫x件，则第二批运动衫为2x件，接下来依据第二批衬衫每件进价贵了10元列方程求解即可； （2）先求得每一批运动衫的数量和进价，然后再求得两批衬衫的每一件衬衫的利润，最后根据利润＝每件的利润×件数求解即可． 【解答】解：（1）设第一批运动衫x件，则第二批运动衫为2x件． 根据题意得：10． 解得：x＝120． 经检验x＝120是方程的根， 则第二批运动衫为：2x＝2×120＝240（件） 答：该商家购进的第二批运动衫是240件； （2）12000÷120＝100，100+10＝110． 两批衬衫全部售完后的利润＝120×（150﹣100）+240×（150﹣110）＝15600元． 答：两批运动衫全部售完后的利润是15600元． 【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批衬衫每件进价贵了10元列出关于x的方程是解题的关键． 7．松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． （1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ （2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】方程思想；分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率及总费用＝每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物， 根据题意得：10， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝24． 答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物． （2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天）， 乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天）， 甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天）， 甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元）， 乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元）， 甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）． ∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12， ∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用． 8．我校在开学前去商场购进A，B两种品牌的乒乓球拍，购买A品牌球拍共花费1800元，购买B品牌球拍共花费700元，且购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，已知购买一副B品牌球拍比购买一副A品牌球拍多花5元． （1）求购买一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？ （2）为了进一步发展“校园乒乓球”，学校在开学后再次购进了A，B两种品牌的球拍，每种品牌的球拍都不少于16副，在购买时，商场对两种品牌的球拍的销售单价进行了调整，A品牌球拍销售单价比第一次购买时提高了5%，B品牌球拍按第一次购买时销售单价的6折出售且总花费恰好为903元，那么此次有哪些购买方案？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设一副A品牌的球拍需x元，则一副B品牌的球拍需x+5元，根据购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍数量的3倍，列出方程解答即可； （2）设此次可购买，m副B品牌球拍，购进A牌球拍n副，根据总花费恰好为903元，列出等式，得出m与n的关系式，进而利用每种品牌的球拍不少于16副，得出不等关系求出n的取值范围，即可分析得出答案． 【解答】解：（1）设购买一副A品牌球拍需要x元，则购买一副B品牌球拍需要（x+5）元，则 由题意得：， 解得：x＝30， 经检验：x＝30是原分式方程的解， x+5＝35， 答：购买一副A品牌球拍需要30元，购买一副B品牌球拍需要35元； （2）调整价格后，购买一副A型球拍需：30（1+5%）＝31.5（元）， 购买一副B型球拍需：35×0.6＝21（元）， 设此次购买m副A型球拍和n副B型球拍，则： 31.5m+21n＝903， 则mn， 由， 解得：16≤n≤19， ∴n＝16或17，18，19， 当n＝16时，31.5m+21×16＝903， 此时m＝18； 当n＝17时，31.5m+21×17＝903， 此时m不是整数，不合题意； 当n＝18时，31.5m+21×18＝903， 此时m不是整数，不合题意； 当n＝19时，31.5m+21×19＝903， 此时m＝16； ∴方案一：购买18副A型1球拍和16副B型球拍； 方案二：购买16副A型球拍和19副B型球拍． 【点评】此题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，设出未知数，列出不等式组或方程．注意分式方程不要忘记检验． 9．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】工程问题；推理能力；应用意识． 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天； （2）甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 【分析】（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题； （2）先得出b＝30﹣2a，进而求出所需费用w＝4.5a+2b＝4.5a+2（30﹣2a）＝60+0.5a，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天，由题意得： ， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原分式方程的解， 2x＝30． 答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天． （2）设甲工程队做a天，乙工程队做b天， 根据题意得：1， 整理得b+2a＝30，即b＝30﹣2a， 所需费用w＝4.5a+2b＝4.5a+2（30﹣2a）＝60+0.5a（a＞0）， 根据一次函数的性质可得，a 越小，所需费用越小， ∵需在20天内完成工程， ∴b＝30﹣2a≤20， 即a＝5时，b＝30﹣2×5＝20， 即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小， 最小费用为60+0.5×5＝62.5（万元）， 答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x2的解为x1＝2，x2； 方程x3的解为x1＝3，x2； 方程x4的解为x1＝4，x2； … （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x6的解是 　x1＝6，x2　； （2）根据上面的规律，猜想关于x的方程xa的解是 　x1＝a，x2　； （3）由（2）可知，在解方程：y时，可以变形转化为xa的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． （4）利用（2）的结论解方程：． 【考点】解分式方程；分式方程的解．版权所有 【专题】阅读型；规律型． 【答案】（1）x1＝6，x2； （2）x1＝a，x2； （3）y1＝2，y2； （4）x1，x2． 【分析】（1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成（y+1）3，由材料得出y+1＝3，y+1，求出方程的解即可； （4）利用换元法，转化为材料中的规律解答． 【解答】解：（1）关于x的方程x6的解是：x1＝6，x2， 故答案为：x1＝6，x2； （2）关于x的方程x的解是：x1＝a，x2， 故答案为：x1＝a，x2； （3）y， y， y+13， （y+1）3， 即y+1＝3，y+1， 解得：y1＝2，y2； （4）令m，则方程可化为m4， 由（2）规律可得，m1＝4，m2； 即4或， 解得x1，x2． 【点评】本题考查了分式方程的解和解分式方程的应用，解此题的关键是找出材料中隐含的规律，通过做此题培养了学生的阅读能力和理解能力． 11．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ （2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意列出分式方程，求出x的值即可； （2）首先根据题意列出a和y的关系式，进而求出a的取值范围，结合a和y都是正整数，即可求出a的值． 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天， 由题意得：（）×36＝1， 解得：x＝80， 经检验x＝80是原方程的解． 答：乙工程队单独做需要80天完成． （2）因为甲工程队做其中一部分用了a天，乙工程队做另一部分用了y天， 依题意得：1，解得： y＝80a， ∵y≤52， ∴80a≤52， 解得：a≥42， 答：甲工程队至少应做42天． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量＝工作效率×工作时间． 12．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】压轴题；分式方程及应用；应用意识． 【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）共有5种进货方案； （3）当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同 【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量． （2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105． （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数y的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款． 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则： ， 解得：m＝9． 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．则： 99≤7.5x+6（15﹣x）≤105． 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则： W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a． 当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 13．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分类讨论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级． 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：b＝2a， 代入②得x＝48． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍． 由题意得：， 整理得：m+6n＝16， 这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1． ①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上． 他已走动的级数是（级）． 【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 14．为全力助推九龙华岩板块建设，大力发展美丽的新华岩，现招标建设某全长480米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用8天， （1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度． （2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多7天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过7天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则A队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设B队平均每天绿化长度是x米，则A队平均每天绿化长度是2x米，依据由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用8天，列分式方程求解即可； （2）设B队提高工作效率后平均每天至少绿化a米，则A队平均每天绿化长度是2a米，依据后5天完成的绿化不少于480米，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）设B队平均每天绿化长度是x米，则A队平均每天绿化长度是2x米，依题意得 ， 解得x＝30， 经检验x＝30是原方程的根且符合题意， ∴2x＝60， 答：A，B两队平均每天绿化长度分别为60米和30米． （2）两队都按（1）中的工作效率绿化2天完成：2（60+30）＝180（米）， 2天后需要绿化：480﹣180+180＝480（米）， 设B队提高工作效率后平均每天至少绿化a米，则A队平均每天绿化长度是2a米，依题意得 5（a+2a）≥480， 解得a≥32， ∴2a≥64， ∴A队提高工作效率后平均每天至少绿化64米． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用的知识点，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的关系式和不等关系式组． 15．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程1的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程1无解．直接写出n的取值范围． 【考点】解分式方程；分式方程的解．版权所有 【专题】计算题；分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义； （1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可． 【解答】解：请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件； （1）解关于x的分式方程得，x， ∵方程有解，且解为负数， ∴， 解得：m且m； （2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝﹣x+3，即（n﹣1）x＝2， 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 代入整式方程得：n； 当n﹣1＝0时，整式方程无解，此时n＝1， 综上，n＝1或n． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 16．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105． 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得： ， 解得：x＝9， 经检验知，x＝9是原方程的解． 所以今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进（15﹣y）辆．根据题意得： ， 解得：6≤y≤10， 所以有5种方案： 方案一：A款汽车购进6辆；B款汽车购进9辆； 方案二：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆； 方案三：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆； 方案四：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆； 方案五：A款汽车购进10辆；B款汽车购进5辆． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 17．京九铁路是1992年10月全线开工，1996年9月1日建成通车，是中国一次性建成双线线路最长的一项宏伟铁路工程．其中北京﹣商丘段全长约800千米，京九铁路的通车使商丘成为河南省仅次于郑州的第二大枢纽城市，为商丘提供了发展的机遇．京雄商高铁的预设平均速度将是老京九铁路速度的3倍，可以提前5.8个小时从北京到达商丘，求京雄高铁的平均速度． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】应用题． 【答案】见试题解答内容 【分析】设老京九铁路的平均速度为x千米/时，则京雄商高铁的预设平均速度是3x km/h，根据时间差为5.8h列出方程并解答． 【解答】解：设老京九铁路的平均速度为x千米/时． 依题意，列方程得 ， 解得 x≈92， 经检验x＝92是所列方程的解，并且符合题意． ∴3x＝276． 答：京雄商高铁的平均速度为276千米/时． 【点评】考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 18．列方程解应用题 北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权，近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，铁路全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求京张高铁列车的平均行驶速度． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案． 【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时． 根据题意得：， 解得：x＝180， 经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意． 则1.5x＝1.5×180＝270． 答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意结合两种列车用时的差得出等式是解题关键． 19．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元． （1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价； （2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵． 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可； （2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可． 【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元， 依题意得：， 解得x＝5． 经检验x＝5是原方程的解，且符合题意． 答：梨树苗的单价是5元； （2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵， 依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000， 解得a≥850． 答：梨树苗至少购买850棵． 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键． 20．为了改善教室空气环境，某校九年级1班班委会计划到朝阳花卉基地购买绿植．已知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是12元．班委会决定用60元购买绿萝，用90元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍． （1）分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格； （2）该校九年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计90盆，其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，该基地特地对吊兰价格给出了如下的优惠政策，一次性购买的吊兰超过20盆时，超过部分的吊兰每盆的价格打8折，根据该基地的优惠信息，九年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？最少费用是多少元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设每盆绿萝x元，则每盆吊兰（12﹣x）元，根据所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍，列出方程，求解即可； （2）设购买吊兰x盆，总费用y元，根据购买绿萝和吊兰共计90盆，其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，列出不等式，求出x的取值范围，再表示出总费用，然后根据函数性，即可得出答案． 【解答】解：（1）设每盆绿萝x元，则每盆吊兰（12﹣x）元，根据题意得： 2， 解得：x＝3， 经检验x＝3是方程的解， 则12﹣x＝12﹣3＝9（元）， 答：每盆绿萝是3元，每盆吊兰9元； （2）设购买吊兰x盆，总费用y元，根据题意得： 90﹣xx， 解得：x≥60， 则y＝20×9+9×0.8（x﹣20）+3（90﹣x）＝4.2x+306， ∵4.2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y取得最小值，最小值为4.2×60+306＝558， ∴购买吊兰60盆，绿萝30盆时，总费用最少，为558元． 【点评】本题考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程或不等式． 21．某学校要添置一批圆珠笔和签字笔，计划用200元购买圆珠笔，用280元购买签字笔．已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元．该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗？ （1）根据题意，甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，并分别列出的方程如下：；，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示　圆珠笔的单价　；y表示　所购圆珠笔（签字笔）的数量　． （2）任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同． 【考点】分式方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由一支签字笔比一支圆珠笔贵1元且该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同，即可得出x、y表示的意义； （2）选第一个分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）∵一支签字笔比一支圆珠笔贵1元，该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同， ∴x表示圆珠笔的单价，y表示所购圆珠笔（签字笔）的数量． 故答案为：x表示圆珠笔的单价；y表示所购圆珠笔的数量． （2）选第一个分式方程， 去分母得：200（x+1）＝280x， 解得：x， 当x时，80， ∴经检验，x为方程的解，且符合题意． 答：该校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据相等的量找出x、y表示的意义；（2）熟练掌握解分式方程的方法． 22．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元． （1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】销售问题；代数综合题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先设一月Iphone4手机每台售价为x元，则二月Iphone4手机每台售价为（x﹣500）元，根据关键语句“卖出相同数量的Iphone4手机”可得：，再解方程即可； （2）设购进Iphone4手机m台，则购进Iphone4s手机（20﹣m）台，根据关键语句“预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机”得：74000≤Iphone4每台进价×数量+Iphone4s每台进价×数量≤76000，有由不等关系列出不等式，解不等式即可； （3）设总获利W元，根据题意得等量关系：W＝每台Iphone4手机获利×台数+每台Iphone4s手机获利×台数，由等量关系可得方程W＝（4000﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m），整理以后使m的系数等于0即可． 【解答】解：（1）设一月Iphone4手机每台售价为x元，由题意得： ， 解得x＝4500． 经检验x＝4500是方程的解． 答：故一月Iphone4手机每台售价为4500元； （2）设购进Iphone4手机m台，由题意得， 74000≤3500m+4000（20﹣m）≤76000， 解得：8≤m≤12． ∵m只能取整数， ∴m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案， 答：共有5种进货方案； （3）二月Iphone4手机每台售价是：4500﹣500＝4000（元）， 设总获利W元，则W＝（4000﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝（100﹣a）m+8000． 100﹣a＝0， 解得：a＝100， 答：当a＝100时，（2）中所有的方案获利相同． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，是一道综合题，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程与不等式组． 23．哈市地铁3号线是哈市唯一一条环线，3号线共分两期建设，一期工程已于2017年1月26日载客试运行，二期工程正在建设中，甲、乙两工程队提交了建设投标方案，若独立完成该项目，甲队所用的时间是乙队所用时间的1.5倍，若两队合作完成该项目，则共需72天． （1）甲、乙两队单独完成该建筑工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该公司派一名技术人员到现场全程监督，每天补助100元，若由甲队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了保障工程质量、缩短工期，该工程选择由乙程队完成，但要求施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天施工费用最多是多少万元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙队完成该工程需要x天，甲队完成该工程需要1.5x天，根据两队合作完成该项目，则共需72天，列方程求解； （2）先求出甲工程队完成任务需要的花费，然后令乙工程队的花费小于等于甲工程队的花费，列不等式求解． 【解答】解：（1）设乙队完成该工程需要x天，甲队完成该工程需要1.5x天， 由题意得，（）×72＝1， 解得：x＝120， 则1.5x＝120×1.5＝180（天）， 答：乙队完成该工程需要120天，甲队完成该工程需要180天； （2）甲工程队完成任务需要的花费为：（100+8000）×180＝1458000（元）， 设乙工程队平均每天施工费用为y万元， 由题意得，（100+10000y）×120≤1458000， 解得：y≤1.205． 答：乙工程队平均每天施工费用最多为1.205万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 24．大泽山是我国著名的葡萄产地，被命名为“中国葡萄之乡”，“西有吐鲁番，东有大泽山”．大泽山葡萄以其皮薄、肉嫩、味香饮誉海内外．在“全国农业标准化示范区”建设中，新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种葡萄苗每株的价格． （2）小明家准备从甲、乙两种葡萄苗中选购买一种葡萄苗，已知购买数量相同且数量不少于500株，因为购买数量较多，苗圃可给予以下优惠：购买甲种葡萄苗每株按原售价9折优惠；购买乙种葡萄苗，500株按原售价付款不优惠，超过500株每株按原售价5折优惠．请帮助小明家判断购买哪种葡萄苗更省钱． （3）小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株．调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设甲、乙两种葡萄苗每株的价格分别为x元，y元，根据条件中葡萄苗的数量与单价之间的关系建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设购买葡萄苗x株，总费用分别为W甲，W乙，根据题意得到W甲＝5×0.9x，W乙＝500×8+（x﹣500）×8×0.5，解方程得到x＝4000，于是得到结论； （3）设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买（1000﹣b）株，购买的总费用为W元，根据条件建立不等式和W与b的函数关系式，由一次函数的性质就可以得出结论． 【解答】解：（1）设甲种葡萄苗每株的价格为x元，乙种葡萄苗每株的价格为y元，由题意得， 解得：， 经检验，是原方程组的解． 答：甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元； （2）设购买葡萄苗x株，总费用分别为W甲，W乙， 根据题意得，W甲＝5×0.9x，W乙＝500×8+（x﹣500）×8×0.5， 当W甲＝W乙，即5×0.9x＝500×8+（x﹣500）×8×0.5， 解得：x＝4000， 当W甲＞W乙，即5×0.9x＞500×8+（x﹣500）×8×0.5， 解得：x＞4000， 当W甲＜W乙，即5×0.9x＜500×8+（x﹣500）×8×0.5， 解得：x＜4000， 答：当购买葡萄苗等于4000株，买两种葡萄苗的费用相等，当购买葡萄苗多于4000株，买乙种葡萄苗的费用少，当购买葡萄苗少于4000株，买甲种葡萄苗的费用少； （3）设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买（1000﹣b）株，购买的总费用为W元，由题意得 90%b+95%（1000﹣b）≥1000×92%， ∴b≤600． W＝5b+8（1000﹣b）＝﹣3b+8000， ∴k＝﹣3＜0， ∴W随b的增大而减小， ∴b＝600时，W最低＝6200元． 答：购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株费用最低，最低费用是6200元． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由方程组求出两种树苗的单价是关键． 25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50%销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． （3）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据题意列出不等式解答即可； （3）根据总利润＝单件利润×销量列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元， 由题意得，， 解得：x＝1200， 经检验x＝1200是原方程的根， 则x+300＝1500， 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器（10﹣x）台 由1500x+1200（10﹣x）≤14000和10﹣x＜2x得x的范围x，x可取4，5，6三种方案．当x＝6时，y最大＝6900元． （3）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得：（x﹣1200）（4）＝3200， 解得：x＝1600， 答：如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 考点卡片 1．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 6．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 7．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$