2025年中考数学压轴解答题专项集训：图形认识初步

图形认识初步 一．解答题（共25小题） 1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？ （2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 　 　； （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0 （1）点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数． （3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数． 3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． （1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝　 　； （2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝　 　； （3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝　 　； （4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由； 7．阅读下面材料，回答下列问题： 已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 　 　． （2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 　 　． （3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度． （4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？ 8．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　 　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）． （1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）． （1）求∠ACE的度数； （2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数． 12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　 　个三角形；图3中大三角形被分割成　 　个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点 （1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果） （2）若BC＝14cm，求DE的长 （3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变 （4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？ 14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状． （1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积； （2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积． （3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积． 15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　 　（直接写出结果）． （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由． 17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？ 19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE． （1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数； （2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数． 20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． （1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值； （2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长； （3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求的值． 23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中． （1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由． （2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数； （3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE． （1）∠BAD＝　 　；∠FAG＝　 　； （2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数； （3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD∠CAE成立，试求此时m与n的关系． 25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线． （1）如图1，若∠AOD∠AOB，则∠DOE＝　 　； （2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值； （3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t）后得到∠COP∠AOQ，求t的值． 图形认识初步 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？ （2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 　4或16　； （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【考点】两点间的距离；比较线段的长短；数轴；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】分类讨论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设运动t秒时，BC＝8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可； （2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：6t+8+2t＝24 解得：t＝2； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：6t﹣8+2t＝24 解得：t＝4． （2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4； 当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16． （3）方法一： 存在关系式3． 设运动时间为t秒， 1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC， 当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即3； 2）当3＜t时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， ①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC， 当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即3； 点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC， 当PC时，有BD＝AP+3PC，即3； 3）当t时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4PC， 当PC时，有BD＝AP+3PC，即3； 4）当t时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC， PC时，有BD＝AP+3PC，即3． ∵P在C点左侧或右侧， ∴PD的长有2种可能，即5或3.5． 方法二： 设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t， 则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t， ∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t， AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x， PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|， PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x）， ∵3， ∴BD﹣AP＝3PC， ∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|， 即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|， ①当C点在P点右侧时， 18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x， ∴x+8t＝15， ∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5； ②当C点在P点左侧时， 18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x， ∴x+8t， ∴PD＝20﹣（8t+x）＝203.5； ∴PD的长有2种可能，即5或3.5． 【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解． 2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0 （1）点A表示的数为　﹣8　，点B表示的数为　4　 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数． （3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数． 【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案； （2）直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案； （3）直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案． 【解答】解：（1）∵在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0， ∴a+8＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝﹣8，b＝4， 则点A表示的数为：﹣8，点B表示的数为：4； （2）设x秒时两点相遇， 则3x+x＝4﹣（﹣8）， 解得：x＝3， 即3秒时，两点相遇， 此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1； （3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时， 3x+x＝10， 解得：x， 此时此时点Q所表示的数为：4﹣11.5； 当两点相遇后的距离为2个单位长度时， 3x+x＝14， 解得：x， 此时此时点Q所表示的数为：4﹣10.5； 综上所述：点Q表示的数为：1.5或0.5． 【点评】此题主要考查了两点之间距离以及绝对值的性质，正确分类讨论是解题关键． 3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　100　°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 【考点】角的计算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD， 当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2， ∴∠MON＝∠MOB+∠BON ∠AOCBOD 120°60° ＝80°+20° ＝100°； 故答案为：100°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60）， ①当0＜n＜60时，如（图1）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON （120°﹣n°）+n°（60°﹣n°） ＝100°； ②当60＜n＜120时，如（图2）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON （120°﹣n°）+60°（n°﹣60°） ＝100°； 综上所述：∠MON的度数为100°； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC， ①当0＜n＜60时，如图3， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON （120°+n°）+60°（n°+60°） ＝100°， ∴2n°＝100° ∴n＝50； ②当60＜n＜120时，如图4， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON ＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°） ＝140°， ∴2n°＝140°， ∴n＝70； 当120＜n＜180时，如图5， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°， ∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠AOM＝80°n，∠BON＝100°n， ∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON ＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON ＝（120°+80°n）﹣（100°n） ＝100°， ∴2n°＝100°， ∴n＝50； 综上所述：n的值为50或70． 【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． 4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； ②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【考点】角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解； ②解法与①相同，把①中的25°改成α即可； （2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决． 【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝130°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°； ②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α； （2）∠DOE∠AOC，理由如下： 如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC， 又∵OE平分∠BOC ∴∠COE∠BOC（180°﹣∠AOC）＝90°∠AOC， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°∠AOC）∠AOC． 【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． 5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为 　3　； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论； （4）由点M表示的数为 2，点N表示的数为 3，即可得到结论． 【解答】解：（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t； （2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等 ∴﹣2+3t＝8﹣2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2时，P、Q相遇， 此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4， ∴相遇点表示的数为4； （3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又PQAB10＝5， ∴|5t﹣10|＝5， 解得：t＝1或3， ∴当：t＝1或3时，PQAB； （4）不变． ∵点M表示的数为 2， 点N表示的数为 3， ∴MN＝|（2）﹣（3）|＝|23|＝5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． （1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝　90°　； （2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝　70°　； （3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝　∠AOB　； （4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由； 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，点A、O、B在一条直线上，即可得到∠EOF的度数； （2）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB＝140°，即可得到∠EOF的度数； （3）根据（2）中的方法，即可得到∠EOF与∠AOB的数量关系； （4）若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系，方法同（3）． 【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠COF∠COB；∠COE∠AOC， 又∵∠AOB＝180°， ∴∠EOF∠COB∠AOC（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝90°； 故答案为：90°； （2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠COF∠COB；∠COE∠AOC， 又∵∠AOB＝140°， ∴∠EOF∠COB∠AOC（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝70°； 故答案为：70°； （3）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠COF∠COB；∠COE∠AOC， ∴∠EOF∠COB∠AOC（∠BOC+∠AOC）∠AOB； 故答案为：∠AOB； （4）存在． ∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠COF∠COB；∠COE∠AOC； ∴∠EOF∠COB∠AOC（∠BOC﹣∠AOC）∠AOB． 【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算． 7．阅读下面材料，回答下列问题： 已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 　2或﹣6　． （2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 　﹣6.5或7.5　． （3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度． （4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？ 【考点】两点间的距离；绝对值；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力． 【答案】（1）2或﹣6； （2）﹣6.5或7.5； （3）见解答； （4）运动时间t的值是或1或10或． 【分析】（1）AB＝4，那么|x+2|＝4，所以x+2＝4或﹣4，解方程即可求得x的值； （2）根据数轴上两点间距离理解|x+5|+|x﹣6|所表示的含义，从而列方程求解； （3）分两种情况：①当0≤t≤5.5时，②当5.5＜t≤11时，根据时间×速度可得点P的路程，从而可得PD的长； （4）分两种情况：①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，分别列方程可解答． 【解答】解：（1）∵点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4， ∴|x+2|＝4， ∴x＝﹣2+4＝2或﹣2﹣4＝﹣6， 即x＝2或﹣6； 故答案为：2或﹣6； （2）|x+5|+|x﹣6|＝14， 设A表示数﹣5，B表示数6，P表示数x， ①当点P位于线段AB上时， |x+5|+|x﹣6|＝x+5+6﹣x＝11（不合题意，舍去）； ②当点P位于A点左侧时， |x+5|+|x﹣6|＝﹣x﹣5﹣x+6＝﹣2x+1＝14， 解得：x＝﹣6.5； ③当点P位于B点右侧时， |x+5|+|x﹣6|＝x+5+x﹣6＝2x﹣1＝14， 解得：x＝7.5； 综上，x＝﹣6.5或x＝7.5； 故答案为：﹣6.5或7.5； （3）∵点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10， ∴点D表示的数为﹣1，点E表示的数为10， 分两种情况： ①当0≤t≤5.5时，PD＝2t； ②当5.5＜t≤11时，PD＝22﹣2t； （4）由（3）知：OD＝1，OE＝10， 分两种情况： ①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上， 当点P在OD上时， ∵PD＝2PO， ∴2t， ∴t； 当点P在OE上时， ∵PD＝2PO， ∴OD＝OP， ∴2t＝2， ∴t＝1； ②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上， 当点P在OE上时， ∵PD＝2PO， ∴OD＝OP＝1， ∴22﹣2t＝2， ∴t＝10； 当点P在OD上时， ∵PD＝2PO， ∴22﹣2t， ∴t； 综上，运动时间t的值是或1或10或． 【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值． 8．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　是　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　4或6或8　cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 【考点】两点间的距离．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； （3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC＝124cm或AC＝126cm或AC＝128cm； 故答案为：4或6或8； （3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6） ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．APAQ，即，解得s； Ⅱ．APAQ，即，解得s； Ⅲ．APAQ，即，解得t＝3s； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．AQAP，即，解得s（舍去）； Ⅱ．AQAP，即，解得t＝6s； Ⅲ．AQAP，即，解得s． 【点评】考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【考点】角的计算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论； （2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值； （3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． 10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）． （1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【考点】余角和补角；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°，根据等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC； （2）根据题意可知∠NOC+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°﹣∠NOB、∠BON＝60°﹣∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC+30°． 【解答】解：（1）ON平分∠AOC． 理由如下：∵∠MON＝90°， ∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°． 又∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM＝∠MOC， ∴∠AON＝∠NOC． ∴ON平分∠AOC． （2）∠BOM＝∠NOC+30°． 理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°， ∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°． ∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°． 【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键． 11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）． （1）求∠ACE的度数； （2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数． 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用直角三角形各内角度数进而得出∠ACE的度数； （2）首先得出∠BCE的度数，再结合角平分线的性质得出答案． 【解答】解：（1）∵把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）， ∴∠ACE＝180°﹣∠ECD＝120°； （2）∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝120°﹣45°＝75°， ∵CF是∠BCE的平分线， ∴∠FCE＝∠BCF＝37.5°． 【点评】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确利用直角三角形各内角度数是解题关键． 12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　7　个三角形；图3中大三角形被分割成　10　个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 【考点】认识平面图形．版权所有 【专题】规律型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）读图可得：图2中大三角形被分割成7个三角形；图3中大三角形被分割成10个三角形； （2）由图2、图3总结规律，图2是4个，图3是4+3×1个，图4是4+3×2个，…则图10有4+3×9＝31个，第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个． 【解答】解：（1）图2中大三角形被分割成4个三角形；图3中大三角形被分割成7个三角形． （2）图10有4+3×9＝31个， 第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个． 【点评】此题是一个找规律的题目，要认真观察图形，寻找规律，再作答． 13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点 （1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果） （2）若BC＝14cm，求DE的长 （3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变 （4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？ 【考点】角的计算；两点间的距离；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可； （2）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可； （3）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算，即可说明DE的长不变； （4）根据角平分线的定义得到∠DOC∠AOC，∠EOCBOC，结合图形计算即可求出∠DOE的大小． 【解答】解：（1）∵点C恰为AB的中点， ∴AC＝BCAB＝10cm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴DCAC＝5cm，CEBC＝5cm， ∴DE＝10cm． （2）∵AB＝20cm，BC＝14cm， ∴AC＝6cm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD＝3cm，CE＝7cm， ∴DE＝CD+CE＝10cm； （3）∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CDAC，CEBC， ∴DE＝CD+CE（AC+BC）AB＝10cm， ∴不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变． （4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOC∠AOC，COE∠COB， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE（∠AOC+∠COB）∠AOB， ∵∠AOB＝130°， ∴∠DOE＝65°． ∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关． 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算和角的计算，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状． （1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积； （2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积． （3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积． 【考点】几何体的表面积．版权所有 【专题】投影与视图． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，即三视图的面积相等，故根据正方形的数量求出主视图的面积，即可得到该物体的表面积． 【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2． 故该物体的表面积为36a2； （2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2． 故该物体的表面积为1260a2； （3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2． 故该物体的表面积为3n（1+n）a2． 【点评】本题考查了平面图形的有关知识，关键是要注意立体图形的各个面及每个面的正方形的个数． 15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 【考点】角平分线的定义．版权所有 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD； （2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算； （3）正确作出图形，判断大小变化． 【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴35°，10°， ∴∠DOE＝45°； （2）∠DOE的大小不变等于45°， 理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE 45°； （3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°． 如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2）） 【点评】正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　11或47　（直接写出结果）． （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由． 【考点】余角和补角；角的计算．版权所有 【专题】综合题；分类讨论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数； （2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系． 【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB， 又∵∠BOC＝110°， ∴∠MOB＝55°， ∵∠MON＝90°， ∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°； （2）分两种情况： ①如图2，∵∠BOC＝110° ∴∠AOC＝70°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°， ∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°， 即逆时针旋转的角度为55°， 由题意得，5t＝55° 解得t＝11； ②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°， ∴∠AOM＝55°， 即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°， 由题意得，5t＝235°， 解得t＝47， 综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC； 故答案为：11或47； （3）∠AOM﹣∠NOC＝20°． 理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°， ∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°． 【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用． 17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 【考点】两点间的距离．版权所有 【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC＝5厘米，CNBC＝3厘米， ∴MN＝CM+CN＝8厘米； （2）∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM+CNACBCa； （3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． ①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4； ②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t； ③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t； ④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍）， 综上所述：t＝4或或． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？ 【考点】点、线、面、体．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案； （2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案； （3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案． 【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3）， 方案二：π×22×6＝24π（cm3）， ∵36π＞24π， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）方案一：π×（）2×3π（cm3）， 方案二：π×（）2×5π（cm3）， ∵ππ， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （3）由（1）、（2），得 以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大． 【点评】本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键． 19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE． （1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数； （2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数． 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠AOE＝45°，可以求得∠BOE＝135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE＝67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°； （2）由OD平分∠AOC，可得∠AOC＝2∠AOD＝150°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，再根据OC平分∠BOE，可得∠EOC＝∠BOC＝30°，进而得出∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝60°． 【解答】解：（1）∵∠AOE＝45°， ∴∠BOE＝135°， ∵OC平分∠BOE， ∴∠COE＝67.5°， ∵∠EOF为直角， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°； （2）∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝2×75°＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°， ∵OC平分∠BOE， ∴∠EOC＝∠BOC＝30°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝90°﹣30°＝60°． 【点评】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 【考点】线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【专题】作图题；方案型． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置． 【解答】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：（需画出图形，并标明P点位置） 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价． 【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短． 21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值； （2）分两种情况讨论可求点P的对应的数； （3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0， ∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0， 解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10； （2）﹣10﹣（﹣24）＝14， ①点P在AB之间，AP＝14， ﹣24， 点P的对应的数是； ②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28， ﹣24+28＝4， 点P的对应的数是4； （3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题． 22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． （1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值； （2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长； （3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求的值． 【考点】线段的和差．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）12cm； （2）OA＝5cm； （3）或． 【分析】（1）先求出OC＝1×2＝2（cm），BD＝3×2＝6（cm），根据OA＝20﹣OB，求出AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，最后求出结果即可； （2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，求出OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，根据OD＝3AC，得出OB﹣3t＝3（OA﹣t），求出OB＝3OA，再根据OA+OB＝20cm求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据OA＝5cm，得出MO＝5cm，BO＝15cm，求出BM＝20cm，根据求出OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，根据OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，得出5+OP﹣BP＝15﹣BP，求出OP＝10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP＝MB，进而可得结果． 【解答】解：（1）当运动时间为2s时，如图1， OC＝1×2＝2（cm）， BD＝3×2＝6（cm）， ∵OA+OB＝20cm， ∴OA＝20﹣OB， ∴AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB， ∵OD＝OB﹣BD＝OB﹣6， ∴AC+OD＝18﹣OB+OB﹣6＝12（cm）； （2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t， ∴OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t， ∵OD＝3AC， ∴OB﹣3t＝3（OA﹣t）， ∴OB＝3OA ∵OA+OB＝20cm， ∴OA+3OA＝20cm， ∴OA＝5cm． （3）∵OA＝5cm， ∴MO＝5cm，BO＝15cm，BM＝20cm， ∵MP﹣BP＝OP， ∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，如图2， ∴OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP， ∵OP＝OB﹣BP＝15﹣BP， ∴5+OP﹣BP＝15﹣BP， ∴OP＝10cm， ∴． 当点P在点B右边时， ∵MP﹣BP＝OP，MP﹣BP＝MB， ∴OP＝MB， ∴； 综上，或． 【点评】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中． （1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由． （2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数； （3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【考点】余角和补角；角平分线的定义；角的计算．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义和平角的定义求得∠AOC的度数，再根据角的和差关系即可求解； （3）根据角的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）当OD平分∠AOB时，OC也平分∠AOE， ∵OD平分∠AOB时， ∴∠AOD＝∠DOB， ∵∠AOC+∠AOD＝90°， ∴∠COE+∠DOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COE， ∴OC也平分∠AOE； （2）∵OC所在的直线平分∠AOE， ∴∠AOC（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠AOD＝90°﹣67.5°＝22.5°； （3）当∠AOD在∠AOB内部时， ∠AOD+∠BOC ＝∠AOD+∠BOD+∠COD ＝∠AOB+∠COD ＝45°+90° ＝135°； 当∠AOD在∠AOB外部时， ①旋转角度大于45度而小于等于90度， ∠BOC﹣∠AOD ＝∠AOB+∠COD ＝45°+90° ＝135°； ②旋转角度大于90度而小于等于180度， ∠BOC+∠AOD ＝360°﹣90°﹣45° ＝225°． 【点评】此题考查了角平分线的定义，角的计算，关键是观察图形得到角与角之间的关系． 24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE． （1）∠BAD＝　105°　；∠FAG＝　15°　； （2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数； （3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD∠CAE成立，试求此时m与n的关系． 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图1．根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；根据角平分线定义可得∠BAF∠BAD＝52.5°，∠BAG∠BAE＝67.5°，代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解； （2）如图2，根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝135°﹣5t；根据角平分线定义可得∠BAF∠BAD（105°﹣5t），∠BAG∠BAE（135°﹣5t），代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解； （3）如图3．根据平角的定义可得∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．根据∠MAD∠CAE列出方程150°﹣nt（180°﹣mt﹣nt），解方程即可得出m与n的关系． 【解答】解：（1）如图1． ∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°； ∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE， ∴∠BAF∠BAD＝52.5°，∠BAG∠BAE（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝67.5°﹣52.5°＝15°． 故答案为105°；15°； （2）如图2， 由题意可知： ∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣30°﹣5t＝105°﹣5t； ∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣5t＝135°﹣5t； ∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE， ∴∠BAF∠BAD（105°﹣5t）， ∠BAG∠BAE（135°﹣5t）， ∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF（135°﹣5t）（105°﹣5t）＝15°； （3）如图3． ∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝180°﹣30°﹣nt＝150°﹣nt， ∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt． 当∠MAD∠CAE时，有150°﹣nt（180°﹣mt﹣nt）， 解得n＝5m． 即当n＝5m时，有∠MAD∠CAE成立． 【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义以及角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，注意理清角之间的关系． 25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线． （1）如图1，若∠AOD∠AOB，则∠DOE＝　25°　； （2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值； （3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t）后得到∠COP∠AOQ，求t的值． 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）25°； （2）40°； （3）t的值为秒或秒． 【分析】（1）由题意得∠AOD＝30°，再求出∠AOE＝55°，即可得出答案； （2）先由角平分线定义得∠AOF＝∠DOF∠AOD，∠AOE∠AOC，再证∠AOE﹣∠AOF∠COD，即可得出答案； （3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，即0＜t≤3.75时，则∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，由角的关系得55﹣12t（30﹣8t），解得t（舍去）； ②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，即3.75＜t≤4.5时，由角的关系得55﹣12t（8t﹣30），解得：t； ③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，即4.5＜t＜16.75时，由角的关系得12t﹣55（8t﹣30），解得：t． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD∠AOB＝30°， ∵∠COD＝80°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝30°+80°＝110°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE∠AOC＝55°， ∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝55°﹣30°＝25°； 故答案为：25°； （2）∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠DOF∠AOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC， ∴∠AOE﹣∠AOF∠AOC∠AOD（∠AOC﹣∠AOD）∠COD， ∵∠COD＝80°， ∴∠AOE﹣∠DOF80°＝40°； （3）分三种情况： ①当射线OP、OQ在∠AOC内部时， ∵30﹣8t≥0， ∴t≤3.75， 即0＜t≤3.75时， 由题意得：∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°， ∴∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠AOD﹣∠DOQ＝（30﹣8t）°， ∵∠COP∠AOQ， ∴55﹣12t（30﹣8t）， 解得：t（舍去）； ②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时， ∵55﹣12t≥0， ∴t≤4.5， 即3.75＜t≤4.5时， 则∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°， ∴55﹣12t（8t﹣30）， 解得：t； ③当射线OP、OQ在∠AOC外部时， ∵0＜t， ∴16.75， 即4.5＜t＜16.75时， 则∠COP＝∠POE﹣∠COE＝（12t﹣55）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°， ∴12t﹣55（8t﹣30）， 解得：t； 综上所述，t的值为秒或秒． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键． 考点卡片 1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 2．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 3．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 4．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 5．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 6．点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 7．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 8．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 9．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 10．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 11．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 12．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 13．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 14．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 15．线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$