精品解析：湖南省湘西自治州2024—2025学年八年级上学期期末学情诊断数学试题卷

湘西自治州2024年秋季期末测试试卷 八年级数学 注意：本卷包括三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 彭老师在课堂上组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有和四种规格，数量若干，小明同学已经取了和的两根木棍，那么第三根木棍不可能取 规格的．（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握构成三角形三边数量关系是解题的关键． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：小明同学已经取了和的两根木棍， ∵，， ∴第三边大于，小于， ∴不可能取， 故选：A ． 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 已知，如图，、、、四点共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角是解题的关键． 由三角形外角的性质可得，，利用三角形的内角和定理可得，结合即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， 故选：． 4. 小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性以及多边形对角线分三角形的个数问题：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了． 三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解；依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固木条数量为条． 故选：B． 5. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考出了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； B、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 7. 如果是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是9； 故选B． 【点睛】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点平移后与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向上平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可. 【详解】∵点平移后能与原来的位置关于轴对称， ∴平移后的坐标为 ∵纵坐标增大 ∴点是向上平移得到，平移距离为 故选：D. 【点睛】此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题. 9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 10. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可． 【详解】连接、、，如图， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，故①正确， ∵， ∴，， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，故③错误； 故选：A． 二、填空题（包括8道小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是截答的关键． 12. 当________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件计算即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，熟练掌握相关知识是解题关键． 13. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握含角的直角三角形的性质解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解含角的直角三角形的性质， 【详解】解：根据题意，， ∴在中，， ∴， 故答案为：6 ． 14. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 15. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 16. 如图，是等边三角形；，平分交于点，则线段的长为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，以及“三线合一”，灵活运用性质即可解题．由等边三角形的性质得，然后根据三线合一可求出线段的长． 【详解】解：是等边三角形，且， ， 平分交于点， ， 故答案为：3． 17. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据分式有意义的条件，解得，再去分母，去括号，移项，合并同类项，解得，最后根据方程的解为正数，及分式有意义解得的取值范围． 【详解】解：关于的方程有解， 去分母得， 根据题意得， 且 解得且， 故答案为：且． 18. 请阅读关于“快乐数”的知识卡片，并回答问题： 快乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“快乐数”， a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“快乐数”， 请写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“快乐数”_____________． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，理解“快乐数”的计算方法，掌握代数式的运用正确表示快乐数并计算是解题的关键． 设快乐数的分子为，分母为，即，根据题意可得，根据分子和分母均为正整数可得，或或，则或或，所以有或或，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同，均为9， ∴设快乐数的分子为，分母为，即， ∵分子小于分母， ∴， 解得，， ∵去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等， ∴， 解得，， ∴， ∵分子和分母均为正整数 ∴或或，则或或， ∴或或， ∴当时，这个快乐数为，当时，这个快乐数为，当时，这个快乐数为（不符合题意，舍去）， ∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“快乐数”为或（答案不唯一）， 故答案为：或（答案不唯一） ． 三、简答题（包括8．道小题，共66分） 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键． 括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，则原式 21. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，．求证∶． 【答案】 证明∶ ， ∴， 即 ， 在和中， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为_____________ （2）在轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． （3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；的坐标为； （2） 解：如图所示，由（1）可得点关于轴的对称点，连接交轴与点，则点即为所求点的位置， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据轴对称最短路径的方法作图即可； （3）根据全等三角形的判定方法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， ∴，，，， ∴， ∴所有符合条件的点坐标为：或或． 23. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 【答案】（1）1300；； （2）每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 24. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的______；直线是线段的______． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）角平分线；垂直平分线 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质与尺规作图，线段垂直平分线的性质与尺规作图，等边对等角： （1）根据作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线； （2）先由三角形内角和定理得到，再由线段垂直平分线的性质得到，则，求出，由角平分线的定义可得． 【小问1详解】 解：由作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线， 故答案为：角平分线；垂直平分线； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴． 25. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片___________张，B号卡片___________张，C号卡片___________张． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系___________； （3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知．求的值． 【答案】（1）3，2，7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积问题，完全平方公式的几何背景，以及利用完全平方公式进行变形求值．掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）求出的结果，根据长方形的面积公式，进行判断即可． （2）利用大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即可得出结果； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张； 故答案为：3，2，7； 【小问2详解】 由图可知：大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即：； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵ ； ∴． 26. 如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全图形如图1所示： （2） （3） ； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西自治州2024年秋季期末测试试卷 八年级数学 注意：本卷包括三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 彭老师在课堂上组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有和四种规格，数量若干，小明同学已经取了和的两根木棍，那么第三根木棍不可能取 规格的．（ ） A. B. C. D. 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，如图，、、、四点共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如果是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 8. 在平面直角坐标系中，点平移后与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向上平移个单位 9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（包括8道小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 当________时，分式的值为0． 13. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为________． 14. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 15. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是________． 16. 如图，是等边三角形；，平分交于点，则线段的长为______________． 17. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______________． 18. 请阅读关于“快乐数”的知识卡片，并回答问题： 快乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“快乐数”， a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“快乐数”， 请写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“快乐数”_____________． 三、简答题（包括8．道小题，共66分） 19. 计算． 20. 先化简，再求值：其中． 21. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，．求证∶． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为_____________ （2）在轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． （3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标． 23. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 24. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的______；直线是线段的______． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 25. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片___________张，B号卡片___________张，C号卡片___________张． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系___________； （3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知．求的值． 26. 如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $