板块1 微专题(5) 第5课时 “函数与导数”大题创新考法的多维演训(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

第5课时　“函数与导数”大题创新考法的多维演训 创新点：导数+数列+新定义问题 1.(2024·泰安一模)已知各项均不为0的递增数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，a2=4，anan+1=2Sn(Sn+1+Sn-1-2Sn)(n∈N*，且n≥2). (1)求数列的前n项和Tn； (2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”.证明： ①对任意k≤5且k∈N*，存在“G-数列”，使得bk≤ak≤bk+1成立； ②当k≥6且k∈N*时，不存在“G-数列”，使得cm≤am≤cm+1对任意正整数m≤k成立. 解：(1)anan+1=2Sn(Sn+1+Sn-1-2Sn)=2Sn(an+1-an)(n≥2)， ∵{an}各项均不为0且递增，∴an+1-an≠0， ∴2Sn=，∴2Sn-1=(n≥3)， ∴2an=-，化简得an(an+1+an-1-2an)=0(n≥3)， ∴an+1+an-1=2an(n≥3). ∵a1=2，a2=4，a2a3=2S2(S3+S1-2S2)， ∴a3=6，∴a1+a3=2a2， ∴{an}为等差数列，∴an=2n，Sn=n2+n， ∴==-，∴Tn=1-+-+…+-=. (2)证明：①设“G-数列”公比为q，且q>1， 由题意，只需证存在q对k≤5且k∈N*，2qk-1≤2k≤2qk成立，即(k-1)ln q≤ln k≤kln q成立， 设f(x)=，则f'(x)=， 令f'(x)=0，解得x=e， 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， ∵<，∴f(k)=≤， ∴存在q=，使得ln k≤kln q对任意k≤5且k∈N*成立， 经检验，对任意k≤5且k∈N*，≤k均成立， ∴对任意k≤5且k∈N*，存在“G-数列”{bn}使得bk≤ak≤bk+1成立. ②由①知，若cm≤am≤cm+1成立， 则qm-1≤m≤qm成立， 当k≥6时，取m=3得q2≤3≤q3， 取m=6得q5≤6≤q6， 由得∴q不存在， ∴当k≥6且k∈N*时，不存在“G-数列”{cn}使得cm≤am≤cm+1对任意正整数m≤k成立. 创新点：导数+解析几何+三角函数 2.(2024·烟台一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O，t为AM绕点A转过的角度(单位：弧度，t≥0). (1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y； (2)设点M的轨迹在点M0(x0，y0)(y0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：为定值； (3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t)，y(t))，t∈[α，β]，则该光滑曲线长度为F(β)-F(α)，其中函数F(t)满足F'(t)=.当点M自点O滚动到点E时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度. 解：(1)依题意，y=1-cos t，OB==t，则x=OB-sin t=t-sin t， 所以x=t-sin t，y=1-cos t. (2)证明：由复合函数求导公式y't=y'x·x't及(1)得y'x===，因此tan θ=， 而1+cos 2θ=2cos2θ=====1-cos t=y0，所以为定值1. (3)依题意，F'(t)===2. 由0≤≤π，得sin ≥0，则F'(t)=2sin ，于是F(t)=-4cos +c(c为常数)， 则F(2π)-F(0)=(-4cos π+c)-(-4cos 0+c)=8，所以的长度为8. 创新点：高等数学问题 3.英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+++…++…，其中n!=1×2×3×4×…×n，e为自然对数的底数，e=2.718 28….以上公式称为泰勒公式.设f(x)=，g(x)=，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：ex≥1+x； (2)设x∈(0，+∞)，证明：<g(x)； (3)设F(x)=g(x)-a，若x=0是F(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：设h(x)=ex-x-1， 则h'(x)=ex-1. 当x>0时，h'(x)>0，当x<0时，h'(x)<0， 所以h(x)在(-∞，0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增. 因此，h(x)≥h(0)=0，即ex≥1+x. (2)证明：由泰勒公式知ex=1+x+++++…++…，① 于是e-x=1-x+-+-+…+(-1)n·+…，② 由①②得 f(x)==x+++…++…， g(x)==1+++…++…， 所以=1+++…++…<1+++…++…=g(x). 即<g(x). (3)F(x)=g(x)-a=-a，则F'(x)=-ax， 设G(x)=-ax，G'(x)=-a. 由基本不等式知，≥×2=1，当且仅当x=0时等号成立. 所以当a≤1时，G'(x)≥1-a≥0， 所以F'(x)在R上单调递增. 又因为F'(x)是奇函数，且F'(0)=0， 所以当x>0时，F'(x)>0；当x<0时，F'(x)<0. 所以F(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 因此，x=0是F(x)的极小值点. 下面证明：当a>1时，x=0不是F(x)的极小值点. 当a>1时，G'(ln a)=-a=-a=<0， 又因为G'(x)是R上的偶函数，且G'(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x∈(-ln a，ln a)时，G'(x)<0. 因此，F'(x)在(-ln a，ln a)上单调递减. 又因为F'(x)是奇函数，且F'(0)=0， 所以当-ln a<x<0时，F'(x)>0； 当0<x<ln a时，F'(x)<0. 所以F(x)在(-ln a，0)上单调递增， 在(0，ln a)上单调递减. 因此，x=0是F(x)的极大值点，不是F(x)的极小值点. 综上，实数a的取值范围是(-∞，1]. 创新点：新定义问题 4.在几何学上常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义=为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K==(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y'，y″分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数) (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆+y2=1在处的曲率； (3)定义φ(y)=为曲线y=f(x)的“柯西曲率”.已知在曲线f(x)=xln x-2x上存在两点P(x1，f(x1))和Q(x2，f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求+的取值范围. 解：(1)===1. (2)y=，y'=-， y″=--， 故=-，=-2，故K==. (3)f'(x)=ln x-1，f″(x)=，故φ(y)===，其中s=， 令t1=，t2=，则t1ln t1=t2ln t2，则ln t1=-，其中t=>1(不妨设t2>t1)， 令p(x)=xln x，p'(x)=1+ln x⇒p(x)在单调递减，在单调递增，故1>t2>>t1>0； 令h(t)=ln(t1+t2)=ln(t+1)-， h'(t)=，令m(t)=ln t-(t>1)， 则m'(t)=，当t>1时，m'(t)>0恒成立，故m(t)在(1，+∞)单调递增， 可得m(t)>m(1)=0，即ln t->0， 故有h'(t)=>0， 则h(t)在(1，+∞)单调递增， 又 h(t)=ln 2-1，h(t)=0， 故ln(t1+t2)∈(ln 2-1，0)， 故+=t1+t2∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$