板块1 微专题(4) 导数与函数的极值、最值(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

微专题(四)　导数与函数的极值、最值 精练小题·激活知能 1.(2024·辽阳模拟)函数f(x)=ln x++3的最小值是 (　　) A.　　　　　B.4　　　　　　C.　　　　　　D.3　　　　　　 解析：选C　由题意得f'(x)=-=(x>0)，令f'(x)>0，得x>1，令f'(x)<0，得0<x<1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故f(x)的最小值是f(1)=.故选C. 2.(人A选必修二P104T9改编)“c=6”是“函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C　∵f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2，且函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，∴f'(2)=0，即c2-8c+12=0，解得c=6或c=2.经检验，当c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去；当c=6时，函数f(x)在x=2处取得极大值，符合题意.所以c=6，故“c=6”是“函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值”的充要条件. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则 (　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 解析：选BCD　函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD. 4.(2024·湖南模拟)已知函数f(x)=2x3-ax2-ax的一个极值点为1，则f(x)在[-2， 2]上的最小值为　　　　　　 .  解析：因为f'(x)=6x2-2ax-a，所以f'(1)=6-3a=0，得a=2.则f'(x)=6x2-4x-2=2(x-1)(3x+1)，所以f(x)在，(1，2)上单调递增，在上单调递减.因为f(-2)=-20，f(1)=-2，所以f(x)在[-2，2]上的最小值为-20. 答案：-20 |调动储备| ⇦极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值. ⇦不要忽略验证所求的极值点是极大值点还是极小值点. ⇦转化为导函数有两个不等的实数根. ⇦若x0为函数f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0，反之不一定成立. 聚焦重难·发掘潜力 考法一　利用导数研究函数的极值 [例1]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解：(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1，可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)，切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y-1=0. (2)法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a， +∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 构造函数g(a)=a2+ln a-1，a>0，则g'(a)=2a+>0，可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)> g(1)，即a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). 法二　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值，则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a>0. 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，符合题意， 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，构造函数g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上单调递增，可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)> g(1)，即a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). [思维建模] 解决函数极值问题的一般思路 [变式训练] 1.(2024·葫芦岛一模)已知函数f(x)=ex-ax2在R上无极值，则a的取值范围是 (　　) A. B. C.[0，e) D. 解析：选D　由题意得f'(x)=ex-2ax，故f'(0)=1>0，因为函数f(x)=ex-ax2在R上无极值，所以f'(x)≥0在R上恒成立，当x>0时，a≤，设g(x)=(x>0)，则g'(x)==，当0<x<1时，得g'(x)<0，当x>1时，得g'(x)>0，则g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，从而g(x)≥g(1)=，故a≤；当x<0时，<0，则a≥0.综上，0≤a≤.故选D. 2.(2024·遂宁一模)已知函数f(x)=ax3+2sin x-xcos x. (1)若a=0，判断f(x)在上的单调性，并说明理由； (2)若a>0，探究f(x)在(0，π)上的极值点个数. 解：(1)当a=0时，f(x)=2sin x-xcos x，f'(x)=cos x+xsin x，x∈，则f'(x)>0，所以f(x)在上单调递增. (2)由f(x)=ax3+2sin x-xcos x，得f'(x)=3ax2+cos x+xsin x， 依题意，只要探究f'(x)=3ax2+cos x+xsin x在(0，π)上的变号零点个数即可， 令g(x)=3ax2+cos x+xsin x，x∈(0，π)， 则g'(x)=6ax+xcos x=x(6a+cos x). ①当6a≥1，即a≥时，6a+cos x>0，此时g'(x)>0在(0，π)上恒成立， 则g(x)即f'(x)单调递增，f'(x)>f'(0)=1，f'(x)在(0，π)上无零点， f(x)在(0，π)上的极值点个数为0. ②当0<6a<1，即0<a<时， ∃x0∈(0，π)，使得x0(6a+cos x0)=0， 即cos x0=-6a. 当0<x<x0时，g'(x)>0； 当x0<x<π时，g'(x)<0， 所以g(x)即f'(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减， 由于f'(0)=1，f'(π)=3aπ2-1， 若3aπ2-1≥0，即≤a<时，f'(x)在(0，π)上无零点，f(x)在(0，π)上的极值点个数为0； 若3aπ2-1<0，即0<a<时，f'(x)在(0，π)上有1个变号零点， f(x)在(0，π)上的极值点个数为1. 综上所述，当a≥时，f(x)在(0，π)上的极值点个数为0； 当0<a<时，f(x)在(0，π)上的极值点个数为1. 考法二　利用导数研究函数的最值 [例2]　(2024·东莞模拟)已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值. 解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， 求导数，得f'(x)=x+1-a-==， 若a≤0，则f'(x)>0，此时f(x)在(0，+∞)上单调递增， 若a>0，则由f'(x)=0得x=a，当0<x<a时，f'(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减，当x>a时，f'(x)>0，f(x)在(a，+∞)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间， 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，+∞). (2)由(1)知，当0<a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调递增，函数f(x)的最大值为f(e)=e2+(1-a)e-a； 当a≥e时，f(x)在区间[1，e]上单调递减， 函数f(x)的最大值为f(1)=-a； 当1<a<e时，f(x)在区间(1，a)上单调递减，在(a，e)上单调递增， 函数f(x)的最大值为max{f(1)，f(e)}， 令f(e)-f(1)=e2+(1-a)e->0，得a<e+1-，当1<a<e+1-时，函数f(x)的最大值为f(e)=e2+(1-a)e-a， 当e+1-≤a<e时，函数f(x)的最大值为f(1)=-a. 综上，当a<e+1-时，函数f(x)的最大值为f(e)=e2+(1-a)e-a， 当a≥e+1-时，函数f(x)的最大值为f(1)=-a. [思维建模] (1)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： ①求函数在(a，b)内的极值. ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b). ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值. [变式训练] 3.已知函数f(x)=ex-2x，g(x)=-x，且f(x1)=g(x2)，则x1-x2的最小值为 (　　) A.1 B.e C.1-ln 2 D.2-ln 2 解析：选A　由f(x1)=g(x2)，得-2x1=-x2，化简整理得x1-x2=-x1，因为g(x)的值域，f(x)，g(x)的定义域均为R，所以x1的取值范围也是R.令h(x)=ex-x(x∈R)，h'(x)=ex-1，令ex-1=0，解得x=0.当x∈(-∞，0)时，h'(x)<0，即h(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，即h(x)在(0，+∞)上单调递增.所以h(x)min=h(0)=1，故(x1-x2)min=1. 4.已知斜率为1的直线l与曲线f(x)=ln x相切. (1)求直线l的方程； (2)若直线x=t，t∈(0，e)分别交曲线y=f(x)和y=于M，N两点，求△OMN的面积的最大值.(其中O为坐标原点) 解：(1)设切点为(x0，f(x0))， 因为f'(x)=，所以切线的斜率k==1，解得x0=1，此时f(x0)=0，即切点为(1，0)， 所以切线l的方程为y=x-1，即x-y-1=0. (2)因为x=t分别交曲线y=ln x和y=于点M，N，所以M(t，ln t)，N. 因为t∈(0，e)，则>1，ln t<1，所以>ln t. 此时△OMN的面积S(t)=t=-tln t，t∈(0，e)， S'(t)=-(1+ln t)，令S'(t)=0，得t=， 当0<t<时，S'(t)>0， S(t)在上单调递增， 当<t<e时，S'(t)<0， S(t)在上单调递减， 所以当t=时，S(t)有最大值且S(t)max=S=+. [专题验收评价]　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极大值4，则a-b= (　　) A.8 B.-8 C.2 D.-2 解析：选B　因为f(x)=ax3+bx，所以f'(x)=3ax2+b，所以f'(1)=3a+b=0，f(1)=a+b=4，解得a=-2，b=6，经检验，符合题意，所以a-b=-8.故选B. 2.函数f(x)=在[2，+∞)上的最小值为 (　　) A. B.e2 C. D.2e 解析：选A　依题意f'(x)=(x2-2x-3)=(x-3)(x+1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，+∞)上单调递增，故函数在x=3处取得极小值也是最小值，且最小值为f(3)==. 3.若函数f(x)=ex-ax在区间(0，2)上有极值点，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(1，e2) D. 解析：选C　已知f(x)=ex-ax，由题意知f'(x)=ex-a在(0，2)内有变号零点，显然f'(x)=ex-a在(0，2)单调递增，故原条件等价于解得1<a<e2，故实数a的取值范围是(1，e2). 4.(2024·长沙一模)已知直线y=a与函数f(x)=ex，g(x)=ln x的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率，则k1k2的最大值为 (　　) A. B.1 C.e D.ee 解析：选A　=ln xB=a，且a∈(0，+∞).由f'(x)=ex，g'(x)=，得k1==a，k2==，则k1k2=.设h(x)=，x>0，则h'(x)=，当x∈(0，1)时，h'(x)>0，当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，所以h(x)在(0，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，当x=1时，h(x)有极大值也是最大值，h(x)max=h(1)=，即k1k2的最大值为.故选A. 5.设ab≠0，若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则 (　　) A.a<b B.a>b C.ab<b2 D.ab>b2 解析：选C　由三次函数的性质可知，要使x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点， 则当a>0时，函数f(x)大致图象如图(1)所示，0<a<b，此时ab<b2； 当a<0时，函数f(x)大致图象如图(2)所示，b<a<0，此时ab<b2.综上，ab<b2. 6.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 解析：选ACD　因为函数f(x)的定义域为R，而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)·(x-3)，易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0，当x∈(-∞，1)∪(3，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，故A正确； 当0<x<1时，f(x)单调递增，而x>x2，故B错误；当1<x<2时，1<2x-1<3，且函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3)，即-4<f(2x-1)<0，故C正确； 当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=2(x-1)2(1-x)>0，所以f(2-x)>f(x)，故D正确.故选ACD. 7.已知函数f(x)的导函数为g(x)=(x-1)(x2-3x+a)，若1不是函数f(x)的极值点，则实数a的值为　　　.  解析：由题意可知f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a)，若1不是函数f(x)的极值点， 令h(x)=x2-3x+a，h(1)=0，即1-3+a=0⇒a=2，当a=2时，f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2)，故当x>2时，f'(x)>0；当x<2时，f'(x)≤0，因此x=2是f(x)的极值点，1不是极值点，故a=2满足题意. 答案：2 8.函数f(x)=x+2cos x的最大值为　　　　　　.  解析：f'(x)=1-2sin x，当0<x<时，f'(x)=1-2sin x>0， 当<x<时，f'(x)=1-2sin x<0，故f(x)=x+2cos x在上单调递增，在上单调递减，故f(x)=x+2cos x在x=处取得极大值，也是最大值，最大值为f=+. 答案：+ 9.已知f(x)=|ln x|，x1，x2是方程f(x)=a(a∈R)的两根，且x1<x2，则的最大值是　　　　.  解析：由题意x1，x2是方程|ln x|=a的两根，且x1<x2，则a>0，ln x1=-a，ln x2=a，即x1=e-a，x2=ea， 所以==(a>0).令g(x)=(x>0)，g'(x)=，当0<x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减.则当x=1时，g(x)取得最大值，所以的最大值是. 答案： 10.已知函数f(x)=xeax-ln x-ax-1，若函数f(x)的最小值恰好为0，则实数a的最小值是　　　　　.  解析：令t=xeax(x>0)，则t>0，所以ln t=ln x+ax，令u=f(x)=xeax-ln x-ax-1，则u=t-ln t-1，令g(t)=t-ln t-1，则g'(t)=1-=，当t∈(0，1)时，g'(t)<0，g(t)单调递减；当t∈(1，+∞)时，g'(t)>0，g(t)单调递增.故当t=1时，g(t)取得最小值g(1)=0，故当xeax=1，即a=-时，函数f(x)的最小值恰好为0， 令h(x)=-，则h'(x)=，令h'(x)>0，得x>e；令h'(x)<0，得0<x<e，所以h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，则h(x)min=h(e)=-，所以a的最小值为-. 答案：- 11.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)若a=1，求函数f(x)的单调区间和最值； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值. 解：(1)由题意得f(x)定义域为(0，+∞)， 若a=1，则f(x)=ln x-x，f'(x)=-1=， 当x∈(0，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)，函数f(x)的最大值为f(1)=-1，无最小值. (2)由题意得f(x)定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a=， 当a>0时，令f'(x)=0，解得x=， 当x∈时，f'(x)>0；当x∈时，f'(x)<0. 可知f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. ①当≤1，即a≥1时，f(x)在[1，2]上单调递减，则f(x)min=f(2)=ln 2-2a； ②当≥2，即0<a≤时，f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)min=f(1)=-a； ③当1<<2，即<a<1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减， 则f(x)min=min{f(1)，f(2)}， 因为f(1)=-a，f(2)=ln 2-2a， 当-a≤ln 2-2a，即<a≤ln 2时，f(x)min=f(1)=-a； 当-a>ln 2-2a，即ln 2<a<1时，f(x)min=f(2)=ln 2-2a. 综上所述，当a∈(0，ln 2]时，f(x)min=-a； 当a∈(ln 2，+∞)时，f(x)min=ln 2-2a. 12.(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=(ax-1)ln x(a∈R且a≠0). (1)若f(x)≥0，求a； (2)若a=0，且对于任意t∈[1，2]，g(x)=x3+x2在区间(t，3)上总存在极值，求m的取值范围. 解：(1)当0<x<1时，ln x<0，由f(x)≥0得ax-1≤0⇒a≤(0<x<1)，所以a≤1. 当x≥1时，ln x≥0，由f(x)≥0得ax-1≥0⇒a≥(x≥1)，所以a≥1. 所以a=1. (2)当a=0时，f(x)=-ln x⇒f'(x)=-. 所以g(x)=x3+x2=x3+x2-2x(x>0). 所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2(x>0)， 对于任意t∈[1，2]，g(x)=x3+x2在区间(t，3)上总存在极值， 即g'(x)=0有两个不相等的实根，且必有一根在区间(t，3)内. 因为函数g'(x)=3x2+(m+4)x-2是开口向上的二次函数，且g'(0)=-2<0， 所以必有 由g'(t)<0⇒3t2+(m+4)t-2<0⇒m<-3t-4， 设h(t)=-3t-4，则h(t)在[1，2]上单调递减，所以h(t)≥h(2)=-9，所以m<-9. 由g'(3)>0⇒27+3(m+4)-2>0⇒m>-. 综上可知，-<m<-9. 所以所求m的取值范围是. 13.已知函数f(x)=ex-x2-ax-a2恰有两个极值点，则a的取值范围是 (　　) A.[0，1] B.(0，1) C.[1，+∞) D.(1，+∞) 解析：选D　f(x)的定义域是R，f'(x)=ex-x-a，令h(x)=ex-x-a，所以h'(x)=ex-1，令h'(x)<0，解得x<0；令h'(x)>0，解得x>0.所以h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.要使f(x)恰有两个极值点，则f'(0)=h(0)=1-a<0，解得a>1，此时f'(-a)=e-a-(-a)-a=e-a>0，所以f'(x)在(-∞，0)上有唯一的零点； 令g(x)=x-ln x-ln 2(x>1)，所以g'(x)=1-=，所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)>1-ln 2>0， 所以x-ln x-ln 2>0(x>1)，所以f'(ln 2a)=eln 2a-ln 2a-a=a-ln a-ln 2>0， 所以f'(x)在(0，+∞)上有唯一的零点. 综上，当a>1时，f'(x)在R上有两个不同的零点，且零点两侧的函数值异号， 所以a的取值范围是(1，+∞). 14.[多选]已知函数f(x)=3x-2x，则 (　　) A.f(x)是R上的增函数 B.函数h(x)=f(x)+x有且仅有一个零点 C.函数f(x)的最小值为-1 D.f(x)存在唯一一个极值点 解析：选BD　因为f(x)=3x-2x，则f'(x)=3xln 3-2xln 2=2x，当x=lo时，则ln 3=ln 3=ln ，可得ln 3-ln 2=ln-ln 2<0，即f'(x)<0，所以f(x)=3x-2x不是R上的增函数，故A错误； 因为h(x)=f(x)+x，当x=0时，h(0)=f(0)+0=0，可知x=0是h(x)的零点，当x>0时，h(x)=f(x)+x=3x-2x+x>0，可知h(x)在(0，+∞)内无零点，当x<0时，0<<1，则f(x)=2x<0，可得h(x)=f(x)+x<0，可知h(x)在(-∞，0)内无零点，综上所述，函数h(x)=f(x)+x有且仅有一个零点，故B正确； 当x>0时，f(x)=3x-2x>0，当x=0时，f(0)=30-20=0，当x<0时，则0<3x<1，0<2x<1，可得f(x)=3x-2x>-2x>-1.综上所述，f(x)>-1，所以-1不是函数f(x)的最小值，故C错误； 因为f'(x)=3xln 3-2xln 2=2x，2x>0，所以f'(x)的符号取决于ln 3-ln 2，显然y=ln 3-ln 2是R上的增函数，又因为当x=0时，ln 3-ln 2=ln 3-ln 2>0，当x=lo时，ln 3-ln 2=ln-ln 2<0，所以∃x0∈，使f'(x0)=0，所以f(x)在(-∞，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.所以f(x)有唯一极小值点，无极大值点.故D正确.故选BD. 15.(2024·扬州模拟)[多选]已知正实数m，n满足ln m=n·em+ln n(e是自然对数的底数，e≈2.718)，则 (　　) A.m=n·em B.n=m·en C.n-的最大值为 D.方程n-=-e无实数解 解析：选ACD　若m=n·em，可得n=，将n=代入原方程右边，可得n·em+ln n=em+ln=m+ln m-m=ln m，故A正确；若n=m·en，可得m=，将m=代入原方程，得ln n-n=n+ln n，则-1=，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；令f(m)=n-=，m>0，则f'(m)==，令f'(m)=0，可得m=2，当0<m<2时，f'(m)>0，所以f(m)单调递增，即f(2)>f(m)>f(0)=-1，当m>2时，f'(m)<0，所以f(m)单调递减，即f(2)>f(m)>0，所以当m>0时，f(m)max=f(2)=，f(m)在区间(0，+∞)上的值域为，故C正确；由上可知f(m)在区间(0，+∞)上的值域为，所以n-=-e无实数解，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$