第11章 反比例函数（单元复习 5大模型+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第11章 反比例函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 12 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 17 【压轴题型】 21 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 21 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 26 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 32 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 41 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 47 【易错题型】02 模型题型 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·重庆·模拟预测）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则 ． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    巩固训练 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 巩固训练 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 巩固训练 1．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 4．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与该矩形的边，分别交于点，，直线与轴交于点，若的面积为，则矩形的面积为 ． 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 2．（23-24九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 3．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 例题：（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴上，，点在反比例函数的图象上，轴，的延长交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． (1)求k的值； (2)求线段所在直线的解析式． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点，反比例函数的图象经过点D且和相交于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 4．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 巩固训练 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 反比例函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 12 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 17 【压轴题型】 21 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 21 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 26 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 32 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 41 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 47 【易错题型】02 模型题型 模型一　反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·重庆·模拟预测）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为4，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，轴， ∴， ∵反比例函数的图象进过第二象限， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此即可求解． 【详解】解：∵，的面积为1.9， ∴． ∵反比例函数图象在二四象限， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接，根据轴，得和关于边上的高相等，即，然后再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此可得的值． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， 和关于边上的高相等， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第二象限， ． 故答案为： 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键． 延长交y轴于点D，连接，根据，列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：延长交y轴于点D，连接， ∵轴，点是反比例函数的图象上一点，点B在图象上， ∴， ∴， 解得：（舍去） 故答案为：2． 模型二　反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 巩固训练 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解． 【详解】解：过点A作轴于C， ∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 模型三　反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 巩固训练 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，连接，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴垂直x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得或2， ∵． ∴ 故答案为： 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 轴，四边形是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 边上的高， 的面积， 故答案为：8． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，设，先证明，由全等三角形的性质得到，继而解得，，过点作的延长线的垂线，得到，再解得，最后由整理解题即可．掌握相关图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 设， 轴，则轴，轴， ，， 是平行四边形的对角线，且对角线的交点为，即， ， ∴， ， ， 同理得， ， 过点作的延长线的垂线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模型四　反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故答案为：3． 巩固训练 1．（2023·云南红河·一模）如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形的面积减去梯形的面积即可． 【详解】解：如图所示：过点B作轴于点F， ∵点B在上， ∴设点B的坐标为， ∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a， ∵点A在上， ∴点A的横坐标为， ∵A，B分别落在双曲线y＝、上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积为4， ∴矩形的面积为3， ∴ ． 故答案为：． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 4．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与该矩形的边，分别交于点，，直线与轴交于点，若的面积为，则矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】 本题考查反比例函数k的几何意义，设点，，表示出，从而得到，根据矩形得到，即可得到，结合性质及面积列式求解即可得到答案； 【详解】解：设点，，则，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 模型五　反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴， ， ， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与的图象上，点C，D在x轴上，，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．6 D．4 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，的长，再根据平行线分线段成比例的性质得，的长，利用梯形的面积公式，即可得答案． 【详解】设点的坐标为，， 则，， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， ∵， ， ，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数所表示的意义，对①②③④分别进行判断． 【详解】解：设A点坐标为，则P点坐标为，B点坐标为， ①A、为上的两点，则，正确； ②四边形的面积，只有时，即，四边形的面积始终等于矩形面积的一半才能成立，故选项错误； ③只有当的横纵坐标相等时，，错误； ④当点A是的中点时，即，即， 此时点坐标为，即，， 故当点A是的中点时，点一定是的中点，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点． 3．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　反比例函数与三角形的综合问题 例题：（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴上，，点在反比例函数的图象上，轴，的延长交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、三线合一 【分析】（1）过点A作轴的垂线，垂足为，证明四边形是矩形，得到．从而求得，再根据，即可求得点的坐标为，代入即可求解． （2）利用勾股定理求得，再根据，求得点的坐标为．然后由待定系数法求直线的表达式为，最后联立两函数解析式，求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：过点A作轴的垂线，垂足为． ， ． ，轴， 四边形是矩形． ． ， ， ∵． 点的坐标为， 把代入，得 ∴． （2）解：， ． ， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， 直线的表达式为． 联立，解得：， 的延长交反比例函数的图象于点， 点在第一象限内． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数与反比例函数解析式，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，求一次函数与反比例函数的交点坐标．熟练掌握待定系数法求函数解析式和求一次函数与反比例函数的交点坐标方法是解题的关键． 压轴题型二　反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． (1)求k的值； (2)求线段所在直线的解析式． 【答案】(1)； (2)线段所在直线的解析式为：． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】题目主要考查反比例函数及特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，结合图形，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）直接将点D代入解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定得出，设，则，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合题意得出方程求解确定，再由待定系数法即可确定函数解析式． 【详解】（1）点在双曲线上， ； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， 设，则， ∵ ， ， ∵， ∴，代入得： 解得， 平行四边形的面积是8， ∴，即， 解得， 点， 设直线的解析式为：，代入得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图像可知一次函数位于反比例函数上侧时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3），， 由图像可知，一次函数位于反比例函数上侧时， 或． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 【答案】(1)2，5， (2)3 (3) 【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可； （2）根据平行四边形的面积公式计算即可； （3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可； 【详解】（1）把代入得 ， 把代入得 ∵、 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2，5， （2）面积= （3）C往上平移后为D，设 ∵D是的图象上的点 ∴，即 ∴平行四边形沿y轴向上平移了个单位， 设的解析式为，代入 得，即的解析式为 如图：   当时，，则点 A到的距离、 ∴重叠的阴影部分的面积为= 故答案为 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法. 压轴题型三　反比例函数与矩形的综合问题 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 【答案】(1)； (2)矩形的面积为． 【分析】本题考查的是反比例函数与几何的综合，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形面积的计算． （1）利用待定系数法即可求解； （2）用表示出点和点的坐标，再求得的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴点A，B的横坐标都是4， ∵直线过点B， ∴， ∴， 令，， ∴， ∵，即点E是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， 解得． ∴， ∴矩形的面积为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点，反比例函数的图象经过点D且和相交于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数与几何综合，数形结合是解题关键． （1）求出点D的坐标，设反比例函数的解析式为，再代入求解即可． （2）求出点E的坐标，根据矩形的面积减去两个三角形的面积即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点， ∴点D的坐标为． 设反比例函数的解析式为． 将点代入，得，解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在矩形中，反比例函数的图象和相交于点E， ∴点E的纵坐标为4， 将代入得， 解得：． ∵在矩形中，，， ∴，，，． ∴四边形的面积为． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）求出，将代入求出，得出的坐标，把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）求出四边形的面积，求出的值，即可求出的坐标． 【详解】（1），四边形是矩形， ， 将代入得：， ， 把的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）把代入得：，即， ， 由题意得：， ， 点的坐标是或． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 4．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解； （2）证明，即可求解； （3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，四边形是拒形， 轴，轴， ，是的中点， ， 双曲线经过点 ， ， ， 当时，， 点的坐标为． （2）证明：点、点都在双曲线上， ，、， 则，， 则，同理可得：， ，， ， ； （3）解：如图3，连接、交于点，交于点， ，， 随的增大而增大， 当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大， 垂直平分，， ， ，且 ， 解得：， 则点，， 则． 若点与点重合，则， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定的临界点是（3）中解题的关键． 压轴题型四　反比例函数与菱形的综合问题 例题：（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形的边长； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标，以及菱形的性质可求得点D的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）过点B作轴于点E，在中利用勾股定理解题即可； （3）求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵菱形的对角线交于点D， ∴ ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 又∵反比例函数经过点D， ∴， ∴； （2）解：过点B作轴于点E， 设，则，，    在中，，即， 解得：， ∴菱形的边长为； （3）∵点B的坐标为，， ∴点C的坐标为， 代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：， 结合图象，不等式的解集为或． 巩固训练 1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质， 将点代入即可； 根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定； 根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． （2）∵点A和点C的纵坐标都是， ∴轴． ∵， ∴轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． （3）存在，点P的坐标为或． ∵，，， ∴，，， ∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等， ∴可设点， 当菱形以为对角线，则，解得， 当菱形以为对角线，则，解得， 则，． 2．（2024·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点． (1)若，，求反比例函数的解析式． (2)若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了菱形的性质，求反比例函数的解析式． （1）根据菱形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，利用菱形的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点， 由题意得，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接交于点， 设点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为20， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点． (1)______，______，点B坐标为______； (2)直接写出不等式的解集______； (3)已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A坐标，进而利用待定系数法求得k值，再根据两个函数的对称性质求得点B坐标； （2）根据图象，求得正比例函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得，再根据坐标与图形性质，结合菱形性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称， ∴点A、B关于原点对称，则， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，， ∴, ∵轴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质，运用数形结合思想求解是解答的关键． 压轴题型五　反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求P点坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为， (2)的解集是或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为，再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）解析式联立，求得M的坐标，然后根据图象即可求得； （3）设P点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于x的方程，再将x的值代入反比例函数解析式，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：正方形，，， ， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： 解得， 一次函数解析式为， （2）解：联立， 解得：或 ， 由函数图象可得，的解集是：或； （3）解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标； (3)当时，根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质求出点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式； 同理，将点的坐标代入中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）设点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于的方程，解方程求出的值，再将的值代入即可求出点的坐标； （3）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵点的坐标为 点的坐标为， ， ∵四边形为正方形， ， ∴， 把代入中得：， ∴反比例函数解析式为：， 把代入 得： ，解得 ， ∴一次函数解析式为； （2）设， 的面积恰好等于正方形的面积， ， ， 解得或 ， 当时，， 当时，， ∴点坐标为或 ； （3）联立 ，解得： 或 ， 由函数图象可知当或 时，双曲线在直线的上方， ∴当 或 时, ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，运用方程思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分两种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为交于点， ∵点是的中点， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， ∴双曲线的解析式为； （2）∵正方形边长为4， 由（1）知， ①当时， ∵，点、在反比例函数图象上， ②当时，点与点重合， ∵，点、在反比例函数图象上， 综上所述，满足条件的的值为2或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$